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Skalenerträge berechnen

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Skalarprodukte

Tags: Skalarprodukt, Skalenertrag

HansW aktiv_icon

19:49 Uhr, 08.09.2020

Die Aufgabe lautet: Beweisen Sie allgemein allgebraisch, das die Funktion

Y = A^{2} + K^{2}

steigende Skalenerträge aufweist!

Rechnung:

Y = A^{2} + K^{2} = r^{2} \cdot A^{2} + r^{2} \cdot K^{2} = r^{2} (A^{2} + K^{2}) = r^{2} \cdot Y

Ist die Beweiskette in Ordnung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

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21:11 Uhr, 08.09.2020

Hallo,

prinzipiell schon, wobei die Gleichheitszeichen nicht stimmen.

Y (r A, r K) = (r A)^{2} + (r K)^{2} = r^{2} A^{2} + r^{2} K^{2} = r^{2} (A^{2} + K^{2}) = r^{2} \cdot Y (A, K)

Ansonsten kommt es natürlich darauf an, wie ihr in der Vorlesung steigende Skalenerträge definiert habt.

Man könnte z.B. es so definieren:
Ist

h > 1

bei

Y (r X_{1}, r X_{2}) = r^{h} \cdot Y (X_{1}, X_{2})

, dann weist

Y

steigende Skalenerträge auf.
Und in deinem Fall ist

h = 2 > 1

.

Gruß
pivot

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21:21 Uhr, 08.09.2020

Welche Gleichheitszeichen meinst du?

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01:08 Uhr, 09.09.2020

Y (A, K) = A^{2} + K^{2}

Richtig, das ist aber noch nicht die Funktion wovon wir ausgehen. Sondern folgende

Y (r A, r K) = (r A)^{2} + (r K)^{2} \cdot K^{2} = r^{2} \cdot A^{2} + r^{2} \cdot K^{2} = r^{2} (A^{2} + K^{2}) = r^{2} \cdot Y (A, K)

Um die Frage zu beantworten: Ich meinte das zweite Gleichheitszeichen.

HansW aktiv_icon

07:54 Uhr, 09.09.2020

Aber beinhaltet meine Schreibweise mathematisch einen Fehler?

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08:28 Uhr, 09.09.2020

Ja, weil im Allgemeinen

A^{2} + K^{2} \neq r^{2} \cdot A^{2} + r^{2} \cdot K^{2}

ist.
Also kein Gleichheitszeichen zwischen den beiden Termen. Ansonsten ist es prinzipiell richtig.

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08:37 Uhr, 09.09.2020

die Musterlösung zu dieser Aufgabe lautet:

{(r \cdot A)}^{2} + {(r \cdot K)}^{2} = r^{2} \cdot A^{2} + r^{2} \cdot K^{2} = r^{2} \cdot (A^{2} + K^{2}) = r^{2} \cdot Y

Worin unterscheidet sich meine Lösung zu der Musterlösung?

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09:04 Uhr, 09.09.2020

Und wie schauts bei dieser Aufgabe aus?

Zeigen Sie allgemein algebraisch auf, welche Form von Skalenerträgen

Y = max (A, K)

aufweist:

Meine Rechnung:

Y = max (A, K) = max (r \cdot A, r \cdot K) = r \cdot max (A, K) = r \cdot Y

Somit: konstante Skalenerträge

pivot aktiv_icon

13:40 Uhr, 09.09.2020

Worin unterscheidet sich meine Lösung zu der Musterlösung?

Vom Prinzip her hast du bei der zweiten Aufgabe wieder den gleichen Fehler gemacht:

m a x (A, K) = m a x (r \cdot A, r \cdot K)

Du kannst hier nicht die beiden Ausdrücke gleichsetzen. Einmal mit r und einmal ohne r. Man lässt den ersten Term weg:

m a x (r \cdot A, r \cdot K) = . . .

Schau mal was ich bei "Man könnte z.B. es so definieren: ..." geschrieben habe.

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