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Skalenerträge, mit konstanter (-) Zahl

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Konstante Zahl, Skalenerträge

Trostlos aktiv_icon

19:22 Uhr, 29.07.2010

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit einer Aufgabe die mich nicht zur Ruhe kommen lässt!

Wie man Skalenerträge generell ausrechnet ist mir klar.

Aber bisher habe ich noch nie Konstante Zahlen in meiner Funktion gehabt.

z.B.

F(l,k)= $l^{\frac{1}{2}} * k^{\frac{1}{2}} - 100$

Mein erster Gedanke war, ganz klar sinkende skalenerträge wegen -100 wirds < 1 sein.

aber das wäre 1. zu einfach und 2. zu simplel...

Freue mich über eure Erklärungen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

20:18 Uhr, 29.07.2010

Hallo,

$F (l, k) = l^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}} - 100 \Rightarrow F (a l, a k) = {(a l)}^{\frac{1}{2}} \cdot {(a k)}^{\frac{1}{2}} - 100 =$ $a^{\frac{1}{2}} \cdot l^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}} - 100 = a \cdot l^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}} - 100 a + 100 a - 100 =$ $= a \cdot (l^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}} - 100) + 100 \cdot (a - 1) = a \cdot F (l, k) + 100 \cdot (a - 1)$

Für $a > 1$ ist $100 \cdot (a - 1) > 0 \Rightarrow a \cdot F (l, k) + 100 \cdot (a - 1) > a \cdot F (l, k)$

$\Rightarrow F (a l, a k) > a \cdot F (l, k)$ , das wären steigende Skalenerträge.

Für $a < 1$ ist $100 \cdot (a - 1) < 0 \Rightarrow a \cdot F (l, k) + 100 \cdot (a - 1) < a \cdot F (l, k)$

$\Rightarrow F (a l, a k) < a \cdot F (l, k)$ , das wären sinkende Skalenerträge.

Da ich von Wirtschaftswissen keine Ahnung habe, weiß ich nicht, ob der Fall $a < 1$ dort überhaupt betrachtet wird. Das kannst Du wahrscheinlich besser beurteilen.

Gruß Yokozuna

Trostlos aktiv_icon

20:41 Uhr, 29.07.2010

Also erstmal,

danke dass du mir mal wieder hilfst.

Oke ich bin jetzt bis $a^{\frac{1}{2}} * l^{\frac{1}{2}} * a^{\frac{1}{2}} * k^{\frac{1}{2}} - 100$ gekommen.

soweit alles klar! Hat sich ja nicht viel geändert.

Was ich weiß, dass du es richtig gemacht habe. WAs ich nciht weiß, warum du das so geamcht hast.

und zwar das: [...] -100a +100a - 100.

ich verstehe nciht ansatzweise wie du darauf kommst. Aber richtig ists.

Yokozuna aktiv_icon

21:30 Uhr, 29.07.2010

Um zu entscheiden, ob sinkende, steigende oder konstante Skalenerträge vorliegen, muß ich ja $F (a l, a k)$ mit $a \cdot F (l, k)$ vergleichen. Links habe ich ja $F (a l, a k)$ stehen, damit habe ich ja angefangen. Jetzt muß ich rechts nur noch einen Ausdruck hinbekommen, der $a \cdot F (l, k)$ enthält. Es ist:

$a \cdot F (l, k) = a \cdot (l^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}} - 100) = a \cdot l^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}} - a \cdot 100$

Was ich dastehen hatte, war aber:

$a \cdot l^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}} - 100$

Deshalb habe ich $a \cdot 100$ abgezogen, um auf die Form $a \cdot l^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}} - a \cdot 100 = a \cdot F (l, k)$ zu kommen und habe es gleich wieder dazu addiert, damit die Gleichung unverändert bleibt, denn $- a \cdot 100 + a \cdot 100$ ist ja nur eine komplizierte Form, die Zahl 0 hinzuschreiben. Deshalb ist:

$a \cdot l^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}} - 100 = a \cdot l^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}} + 0 - 100 = a \cdot l^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}} + (- a \cdot 100 + a \cdot 100) - 100 =$

$= a \cdot l^{\frac{1}{2}} \cdot k^{\frac{1}{2}} - a \cdot 100 + a \cdot 100 - 100 = a \cdot F (l, k) + 100 \cdot (a - 1)$

Gruß Yokozuna

Trostlos aktiv_icon

21:51 Uhr, 29.07.2010

suuuuuuuuuuuuuuper! Mensch warum wirds mir immer so kompliziert erklärt wenn es auch einfach geht.

Also gehts eigentl. nur darum um irgendwie das a ausklammern zu können.

Alles klar!

Du hast mir mal wieder super geholfen.

Wenn angeommen +100 da stehen würde, würde ich +100a-100a+100 schreiben richtig?

JA! richtig.

klasse,

danke dir MAL WIEDER.

Yokozuna aktiv_icon

21:55 Uhr, 29.07.2010

Es freut mich, daß ich Dir helfen konnte und Dein Dank ist die schönste Belohnung für mich.

Gruß Yokozuna

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