Skalenerträge, ohne Cobbdouglas

Hallo,

ich habe eine Frage zur Skalenerträgen.

Und zwar: Bei Cobb-Douglas kann ich ja einfach die Exponenten addieren und sehe dann die skalenerträge.

Aber was tun z.B. bei dieser Produktionsfunktion.

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=({\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}+{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}})\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

ich habe bisher immer für l=2 und k= 2 eingesetzt und dann verdoppelt (l = 4 ; k=4)

da würde hier für F(2,2) rauskommen = 4 und für F(4,4) = 16

MEINE Lösung 2*4 = 8 < 16.. somit steigende skalenerträge.

LAUT LÖSUNG: konstante Skalenerträge.

Also was mache ich falsch ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hallo!

Es ist F(2,2)=8:

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2,2)={(2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{2}})}^2={(2\cdot 2^{\frac{1}{2}})}^2=2^2\cdot 2^{\frac{1}{2}\cdot 2}=4\cdot 2=8}$

Damit gilt: ${\displaystyle 16=\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(4,4)=2\cdot \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2,2)}$, also konstante Skalenerträge.

Ein Zahlenbeispiel kann vielleicht eine Vermutung stützen (hier zum Beispiel konstante Skalenerträge), aber es ist kein allgemeiner Beweis. Um zu beweisen, daß bei dieser Funktion konstante Skalenerträge vorliegen, muß man dies für alle Zahlen beweisen:

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={({(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^{\frac{1}{2}}+{(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^{\frac{1}{2}})}^2={({{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}\cdot \mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}+{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}\cdot \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}})}^2={({\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}\cdot ({\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}+{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}))}^2=}$

${\displaystyle {{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}\cdot 2}\cdot ({\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}+{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}})}^2=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {({\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}+{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}})}^2=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

achso,

oke super. Danke dir

Habe dann allerdings vllt. noch ne kleine Frage zu meinem Taschenrechner.

Denn wenn ich ${\displaystyle (2^{\frac{1}{2}}*2^{\frac{1}{2}})\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ rechne kommt bei mir 4 raus.

Wenn ich aber ${\displaystyle (2^{0,5}*2^{0,5})\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ rechne kommt wie bei dir 8 raus.

...kannst mir das erklären? Müsste doch eigentl. das gleiche rauskommen!?

ja hattest recht

Um die das 1/2 musste eine Klammer....ist mir noch NIE aufgefallen...gar nicht gut.... :-/

aber danke für deine Hilfe!