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S^n ist eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit

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Algebraische Topologie

Differentialgeometrie

Differentialtopologie

Tags: Algebraische Topologie, Differentialgeometrie, Differentialtopologie

 
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Ismail-

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16:55 Uhr, 07.10.2021

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Im Buch Differential Topology von Guillemin und Pollack wurde bewiesen, dass S1 eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist indem sie mit Parametrisierungen bedeckt wurde. Nun soll ich das gleiche Argument benutzen um zu zeigen, dass die n-sphäre Sn={xRn+1:|x|=1} eine n- dimensionale Mannigfaltigkeit ist (euklidische Norm). Mein Ansatz:
Ich brauche Funktionen die von einer Teilmenge des Rn auf Sn abbilden. Sie müssen alle stetig differenzierbar und bijektiv sein, die Umkehrabbildungen müssen auch stetig differenzierbar sein. Sind die Parametrisierungen auf dem Bild dafür geeignet?

IMG_0393

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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HAL9000

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17:10 Uhr, 07.10.2021

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Zähl mal richtig durch: Deine Tupel rechts sind alle n-dimensional, sollten aber (n+1)-dimensional sein. D.h., du solltest nochmal genau drüber schauen, was Start- und Endindizes sind bei deinen "Pünktchen, Pünktchen"-Aufzählungen innerhalb der Tupel.

Ismail-

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17:18 Uhr, 07.10.2021

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Danke, ist mir gar nicht aufgefallen. Wäre es dann so richtig?

IMG_0394
Ismail-

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17:25 Uhr, 07.10.2021

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Vergiss das Foto, die Notation ist völlig falsch, ich erstelle was neues.
Ismail-

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17:29 Uhr, 07.10.2021

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Das ist jetzt das neue Foto was ich eigentlich meinte. Die Funktionen bilden nun auf Rn+1 ab und müssten den obigen Bedingungen entsprechen (stetig diffbar, bijektiv, Umkehrabbildung stetig diffbar). Ist das richtig?

IMG_0395
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

19:02 Uhr, 07.10.2021

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Naja, du solltest jeweils noch Definitions- und Wertebereich (jeweils offenen Mengen) aller deiner Abbildungen angeben, um Bijektivität und Differenzierbarkeit dort zu zeigen, und dann auch noch nachweisen, dass Sn tatsächlich Vereinigung all dieser Wertebereichsmengen ist - gehört auch noch zum Beweis der Mannigfaltigkeit.
Ismail-

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16:25 Uhr, 19.10.2021

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Was wäre denn Definitions und Wertebereich? Die Funktionsvorschrift hatte ich so gebildet weil man das analog auch für S1 und S2 machen kann. Wegen der hohen Dimensionen kann ich mir das hier aber gar nicht mehr vorstellen.
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HAL9000

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20:06 Uhr, 19.10.2021

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Als Definitionsbereich für alle 2n+2 Funktionen würde ich die offene Menge

D={(x1,,xn)x12++xn2<1}

wählen, die Funktionen sind dann auf jeden Fall alle injektiv. Und man kann für jeden Punkt y=(y1,,yn,yn+1)Sn mindestens eine deiner 2n+2 Funktionen angeben, so dass dieses y im Wertebereich dieser Funktion liegt - warum?
Ismail-

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20:23 Uhr, 25.10.2021

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Sei ySn mit= (y1,.....,yn,yn+1). Dann erfüllt y die Gleichung von Sn. Nun kann man nach einer gewünschten Variable yi umstellen und erhält je nachdem ob yi positiv oder negativ war die entsprechende Funktion. ZB. wenn man nach y1>0 umstellt die erste. Aber was ist, wenn y12+... + yn^2 =1. Dann wäre yn+1 =0 und man nimmt einfach die letzte Funktion im Foto?
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HAL9000

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20:56 Uhr, 25.10.2021

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Womöglich sind die richtigen Ideen dabei, aber zu Papier bringst du sie nicht gerade überzeugend. Hier heißt es ein wenig systematischer und genauer vorzugehen:

Sei y=(y1,,yn+1)Sn. Dann gibt es einen Index k mit 1kn+1 und yk0 (manchmal gibt es wirklich nur genau einen solchen Index, i.d.R. aber mehrere). Dann sei s=sgn(yk) das Vorzeichen von yk, d.h., s{-1,+1} mit yk=syk. Dann liegt dieses y im Bildbereich derjenigen Funktion φ:DSn mit

φ(x)=(x1,,xk-1,s1-x12--xn2,xk,,xn)

(welchen Index die bei dir hatte, weiß ich nicht mehr) - wie kann man das begründen?
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