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S^n ist eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Differentialgeometrie
Differentialtopologie
Tags: Algebraische Topologie, Differentialgeometrie, Differentialtopologie
 
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Im Buch Differential Topology von Guillemin und Pollack wurde bewiesen, dass eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist indem sie mit Parametrisierungen bedeckt wurde. Nun soll ich das gleiche Argument benutzen um zu zeigen, dass die n-sphäre eine dimensionale Mannigfaltigkeit ist (euklidische Norm). Mein Ansatz: Ich brauche Funktionen die von einer Teilmenge des auf abbilden. Sie müssen alle stetig differenzierbar und bijektiv sein, die Umkehrabbildungen müssen auch stetig differenzierbar sein. Sind die Parametrisierungen auf dem Bild dafür geeignet?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Zähl mal richtig durch: Deine Tupel rechts sind alle -dimensional, sollten aber -dimensional sein. D.h., du solltest nochmal genau drüber schauen, was Start- und Endindizes sind bei deinen "Pünktchen, Pünktchen"-Aufzählungen innerhalb der Tupel. |
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Danke, ist mir gar nicht aufgefallen. Wäre es dann so richtig? |
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Vergiss das Foto, die Notation ist völlig falsch, ich erstelle was neues. |
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Das ist jetzt das neue Foto was ich eigentlich meinte. Die Funktionen bilden nun auf ab und müssten den obigen Bedingungen entsprechen (stetig diffbar, bijektiv, Umkehrabbildung stetig diffbar). Ist das richtig? |
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Naja, du solltest jeweils noch Definitions- und Wertebereich (jeweils offenen Mengen) aller deiner Abbildungen angeben, um Bijektivität und Differenzierbarkeit dort zu zeigen, und dann auch noch nachweisen, dass tatsächlich Vereinigung all dieser Wertebereichsmengen ist - gehört auch noch zum Beweis der Mannigfaltigkeit. |
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Was wäre denn Definitions und Wertebereich? Die Funktionsvorschrift hatte ich so gebildet weil man das analog auch für und machen kann. Wegen der hohen Dimensionen kann ich mir das hier aber gar nicht mehr vorstellen. |
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Als Definitionsbereich für alle Funktionen würde ich die offene Menge wählen, die Funktionen sind dann auf jeden Fall alle injektiv. Und man kann für jeden Punkt mindestens eine deiner Funktionen angeben, so dass dieses im Wertebereich dieser Funktion liegt - warum? |
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Sei mit= (y1,.....,yn,yn+1). Dann erfüllt die Gleichung von . Nun kann man nach einer gewünschten Variable yi umstellen und erhält je nachdem ob yi positiv oder negativ war die entsprechende Funktion. ZB. wenn man nach umstellt die erste. Aber was ist, wenn . yn^2 . Dann wäre yn+1 und man nimmt einfach die letzte Funktion im Foto? |
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Womöglich sind die richtigen Ideen dabei, aber zu Papier bringst du sie nicht gerade überzeugend. Hier heißt es ein wenig systematischer und genauer vorzugehen: Sei . Dann gibt es einen Index mit und (manchmal gibt es wirklich nur genau einen solchen Index, i.d.R. aber mehrere). Dann sei das Vorzeichen von , d.h., mit . Dann liegt dieses im Bildbereich derjenigen Funktion mit (welchen Index die bei dir hatte, weiß ich nicht mehr) - wie kann man das begründen? |
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