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Sollte C das Spiel mit dem Münzwurf spielen?
Universität / Fachhochschule
Verteilungsfunktionen
Wahrscheinlichkeitsmaß
Zufallsvariablen
Tags: Stochastik, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen
 
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A schlägt das folgende Spiel vor: ”Hier habe ich eine unfaire Munze, bei der mit Wahrscheinlichkeit ∈ Kopf erscheint und die wiederholt geworfen wird. Du setzt ein Startkapital von Euro ein und jedes Mal, wenn Kopf erscheint, verdoppele ich dein aktuelles Kapital. Andernfalls musst du mir jeweils die Hälfte deines aktuellen Kapitals zahlen." Mit Xn sei das Kapital von Euro) nach gespielten Runden bezeichnet, sofern sich dieser auf das Spiel einlässt, sodass insbesondere gilt Zeige , dass die Folge (Xn)n∈N stochastisch gegen 0 konvergiert. Sollte sich auf das Spiel einlassen? Was ich weiß, ist dass Xn= Produkt von bis mit der Folge X0*Zi, wobei ja ist und Zi der Faktor des Geldes nach einem Spiel, wobei er entweder 2 oder sein könnte. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Wenn du statt den zugehörigen logarithmierten Wert betrachtest, dann kannst du mit Summen von iid-Zufallsgrößen und damit dann dem Gesetz der großen Zahlen bzw. dem Zentralen Grenzwertwertsatz argumentieren. |
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Zur Orientierung ist es bestimmt auch hilfreich, den Erwartungswert für dein Kapital nach einem Spielzyklus vor Augen zu führen. |
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Also der Erwartungswert von Zi ist was für die angegebenen größer als 1 wäre, und der Erwartungswert von Xn, also dem Kapital, wäre . Muss ich also eine Zufallsvariable Un = log(Zn) wählen, wobei dann gilt P(Un= und P(Un . Dann das (schwache) Gesetz der großen Zahlen nutzen, also wo gilt: Summe von bis mit Ui als Folge, für nach unendlich kommt dann der Erwartungswert von Ui, welcher beträgt: was kleiner als 0 wäre? Edit: Könnte ich dabei auch die Varianz von Xn bestimmen und dann die Tschebyscheff-Ungleichung nutzen? |
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Für den Erwartungswert habe ich dasselbe raus. Aber, ich fürchte mein spontaner Vorstoß in diese Richtung war auch ein wenig verführerisch verlockend vom Erwartungswert geblendet. Ich habe mich mal weiter voran getastet. Der Erwartungswert bleibt auch so, wenn wir mehrfach münzeln... Dennoch sollte uns das Gesetz der hohen Zahl beschäftigen. Mein letzter Gedanke: Wenn wir eine hohe Zahl n-mal münzeln, wie oft gewinnen wir dann? wie oft verlieren wir dann? Nachtrag Wer lesen kann, der liest vielleicht eher: Du hast die Antwort prinzipiell schon gegeben. Wenn wir n-mal münzeln, dann werden wir voraussichtlich -mal gewinnen, -mal verlieren, und das ist prinzipiell ungünstig. Wir werden uns Gedanken zur Spielstrategie machen müssen. Vorschläge / Gedanken / Ideen zur Spielstrategie? |
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