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Sonderfälle

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Tags: sonderfall??

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22:58 Uhr, 29.07.2019

Untersuche im System die Sonderfälle und gib deren Lösungsmenge an:

(r - 1) y = r (1 - x)

r (r - x - y) = 2 x

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

23:21 Uhr, 29.07.2019

"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Wie weit bist du schon gekommen ?

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07:32 Uhr, 30.07.2019

erste Gleichung

y = r \frac{1 - x}{r - 1}

zweite Gleichung
y=r/(r^2-rx-2x)

y = y

r

isolieren

\frac{1 - x}{r - 1} =

1/(r^2-rx-2x)

abakus

07:50 Uhr, 30.07.2019

Du hast während deiner Umformung zum Fall 1 durch (r-1) geteilt.
DARFST DU DAS (immer)?

HAL9000

14:00 Uhr, 30.07.2019

@SaraPlatz

Du gibst zwei Gleichungen an, in denen die Symbole

r, x, y

auftauchen und sprichst dann nur von Lösungsmenge - da stellt sich doch als erstes die Frage: Lösungsmenge hinsichtlich WELCHER Variablen?

* Aller drei?
* Nur für zwei, z.B.

x, y

, wobei

r

als Parameter zu betrachten ist?

Das ist nicht selbstverständlich und sollte daher mit angegeben werden!

SaraPlatz aktiv_icon

17:03 Uhr, 30.07.2019

Aufgabe lautet einfach so wie abgeschreiben (Algebra 9 und

10;

DMK; Seite

69) :

Untersuche im System die Sonderfälle und gib deren Lösungsmenge an:

(r−1)y=r(1−x)
r(r−x−y)=2x

Laut Lösung:

r = 2 - \to L {(x | y) | 2 x + y = 2}

Ich habe selber nie solche Aufgabe gelöst!
Danke

Bummerang

17:04 Uhr, 30.07.2019

Hallo,

(r - 1) \cdot y = r \cdot (1 - x)

r \cdot (r - x - y) = 2 \cdot x

Ich gehe davon aus, dass

r

der Parameter ist und

x

und

y

die Unbekannten sind. Das forme ich um zu:

r \cdot x + (r - 1) \cdot y = r

(r + 2) \cdot x + r \cdot y = r^{2}

Wenn die Koeffizienten Matrix

(\begin{matrix} r & (r - 1) \\ (r + 2) & r \end{matrix})

invertierbar ist, so existiert genau eine Lösung für

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

. Ist sie nicht konvertierbar, dann hat man einen Sonderfall. Nicht invertierbar ist sie genau dann, wenn die Determinante gleich Null ist, also wenn gilt:

r \cdot r - (r - 1) (r + 2) = 0

r^{2} - (r^{2} - r + 2 \cdot r - 2) = 0

r^{2} - r^{2} + r - 2 \cdot r + 2 = 0

- r + 2 = 0

r = 2

Das ist der einzige Sonderfall! Für ihn gilt:

(2 - 1) \cdot y = 2 \cdot (1 - x)

2 \cdot (2 - x - y) = 2 \cdot x

y = 2 - 2 \cdot x

4 - 2 \cdot x - 2 \cdot y = 2 \cdot x

y = 2 - 2 \cdot x

4 - 4 \cdot x = 2 \cdot y

Jetzt sieht man leicht, dass die beiden Gleichungen linear abhängig sind. Demzufolge ist die Lösungsmenge aus einer der beiden Gleichungen ermittelbar:

y = 2 - 2 \cdot x

Lösungsvektor:

(\begin{matrix} t \\ 2 - 2 \cdot t \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 + t \\ 2 - 2 \cdot t \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} t \\ 2 \cdot t \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

Lösungsmenge:

L = {(\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) | t \in ℝ}

Im Nichtsonderfall

r \neq 2

kann man die Lösungsmenge über die explizite Inverse der Koeffizientenmatrix bestimmen, wobei wir die Kenntnis der Determinante, die wir als

2 - r

berechnet haben, nutzen:

{(\begin{matrix} r & (r - 1) \\ (r + 2) & r \end{matrix})}^{- 1} = \frac{1}{2 - r} \cdot (\begin{matrix} r & (1 - r) \\ (- 2 - r) & r \end{matrix})

Multipliziert man diese Matrix von links in die umgestellte Gleichung, ergibt sich:

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = \frac{1}{2 - r} \cdot (\begin{matrix} r & (1 - r) \\ (- 2 - r) & r \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} r \\ r^{2} \end{matrix})

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = \frac{1}{2 - r} \cdot (\begin{matrix} r^{2} + r^{2} - r^{3} \\ - 2 \cdot r - r^{2} + r^{3} \end{matrix})

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = \frac{1}{2 - r} \cdot (\begin{matrix} 2 \cdot r^{2} - r^{3} \\ - 2 \cdot r - r^{2} + r^{3} \end{matrix})

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = \frac{1}{2 - r} \cdot (\begin{matrix} (2 - r) \cdot r^{2} \\ (2 - r) \cdot (- r^{2} - r) \end{matrix})

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} r^{2} \\ - r^{2} - r \end{matrix})

Für

r \neq 2

ergibt sich die einelementige Lösungsmenge:

L = {(\begin{matrix} r^{2} \\ - r^{2} - r \end{matrix})}

rundblick aktiv_icon

18:42 Uhr, 30.07.2019

.
"Ich habe selber nie solche Aufgabe gelöst!"

glaub ich dir nicht
.. denn du hast doch sicher schon LGS mit einem Parameter (hier wohl

r)

lösen können?
dein erstes Problem scheint, dass du die Aufgabe nicht in der gewohnten Form geordnet notiert hast:

a x + b y = c

d x + e y = f

wie das bei deinem Beispiel aussieht, kannst du nun nachlesen zB bei Bummerang

r \cdot x + (r - 1) \cdot y = r

(r + 2) \cdot x + r \cdot y = r^{2}

und vielleicht kennst du nun sogar die

\to

Cramersche Regel (Determinantenmethode) ?
(notfalls nachschlagen)

dazu berechnest du die drei hier vom Parameter

r

abhängigen Determinanten

D, D_{x}, D_{y}

(Bummerang hats dir oben notiert):

D = - r + 2

D_{x} = (2 - r) \cdot r^{2}

D_{y} = r \cdot (r^{2} - 2 - r)

Falls das System genau eine Lösung hat (was hier bei deiner Aufgabe ja nicht gefragt ist)
müsste

D \neq 0

(also

r \neq 2)

sein

(\Rightarrow x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D})

und jetzt also zu deinem gesuchten Sonderfall, dh wenn

D = 0

ist

\Rightarrow

also

\Rightarrow r = 2

->wegen

D \cdot x = D_{x}

und

D \cdot y = D_{y}

hätte das System keine Lösung wenn nun

D_{x}, D_{y}

oder beide

\neq 0

wären
->hier sind für

r = 2

aber beide auch

= 0 .

. also wirst du beliebig viele Lösungen bekommen ..

\Rightarrow

setze (oben)

r = 2

in dein LGS ein, du erhältst->

2 \cdot x + y = 2

4 \cdot x + 2 \cdot y = 4

und siehst also, dass für den Sonderfall

r = 2

alle Lösungspukte

(x; y)

dann
auf der Geraden

y = - 2 x + 2

herumliegen.. :-)

nun hoffe ich,
dass du durchblickst
und dass Bummerang mir die Kurzfassung seines (Rechen)Werkes nicht übel nimmt.
.

SaraPlatz aktiv_icon

20:00 Uhr, 30.07.2019

Besten Dank Bummerang und rundblick
super.
ich habe meine Rechnungen ohne Determinantenverfahren zu lösen um

r

zu isolieren...sackgasse!!!!
Mit diesem Verfahren ist OK.

SaraPlatz aktiv_icon

08:38 Uhr, 31.07.2019

Aber geht'es auch ohne Determinanten?

rundblick aktiv_icon

11:17 Uhr, 31.07.2019

.
" Aber geht'es auch ohne Determinanten?"

wau,
du wirst doch wohl die trivialen LösungsVerfahren für ein hundsgewöhnliches 2x2-LGS
als Lehrerin kennen ? (Additions-V., Einsetzungs-V., usw)
und egal welches V. :
im letzten Schritt bei der Berechnung von

x

oder

y

wird durch den bei dieser Variablen
stehenden Faktor geteilt - und wenn dieser Faktor (bei deinem Beispiel wird er

(2 - r)

heissen) eben gleich Null wäre (also hier mit

r = 2),

ist diese Division nicht möglich:

und schon du bist bei der Untersuchung (hier mit

r = 2)

bei den möglichen Sonderfällen angekommen:
bei deiner Aufgabe bist du ja dann mit dem blossen Einsetzen des Parameterwertes ins LGS
- siehe oben - schon am Ziel ..

ok?
.

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