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Spaltenvektoren Matrix ONS

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Tags: Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Vektorraum

EviOriginal aktiv_icon

00:59 Uhr, 02.05.2020

Hallo, ich komme bei folgendem Beweis nicht weiter:

Sei

A \in M_{n},_{m} (ℝ)

so, dass die Spaltenvektoren

v_{1}, ..., v_{m} \in ℝ^{n}

von A ein Orthonormalsystem bildern. Ferner sei

U \subset ℝ^{n}

der Spaltenraum von A.
zz: ker

A A^{T} =

ker

A^{T} = U^{⊥}

Nun weiß ich leider nicht wie ich das zeigen soll. Ich weiß, dass

A = (\begin{matrix} I & I & I \\ v_{1} & ... & v_{m} \\ I & I & I \end{matrix})

und dass das Skalarprodukt von

< v_{i}, v_{j} > = 0 \forall j \neq i

Nun ist mein Problem, dass ich keine Ahnung habe, was

U^{⊥}

ist, also wie komme ich auf die Vektoren, die senkrecht zu

U

stehen? und ich komme auch weder auf ker

A^{T},

da bei bei

A^{T} x = 0

bei mir für

x

immer unterschiedliche Vektoren aus

v_{1}, ..., v_{m}

rauskommen. Und der ker

A A^{T}

ist doch

0 : (

Bitte um Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

ermanus aktiv_icon

09:43 Uhr, 02.05.2020

Hallo,

hier ein Minibeispiel:

A = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array})

Dann ist

A A^{T} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})

und der Kern davon ist keineswegs nur

0

.

Du solltest die Sachlage nochmal überdenken ;-)

Gruß ermanus

EviOriginal aktiv_icon

13:09 Uhr, 02.05.2020

Danke erstmal für deine Antwort, aber mir wird noch immer nicht ersichtlich wie

U^{⊥}

aussieht noch ker

A A^{T}

oder ker

A^{T}

.

Wir wissen ja, dass die Spaltenvektoren von A ein ONS bilden, also dass das Skalarprodukt von zwei Vektoren

v_{i}, v_{j}

entweder 0 ist, wenn

i \neq j

oder 1 wenn

i = j

.
Für ker

A^{T}

gilt ja:

A^{T} \cdot x = 0,

und die Spaltenvektoren, die ja nun Zeilenvektoren in

A^{T}

sind, sind ja

0,

wenn

i \neq j

. Also beispielsweise für

v_{1} = ((v_{1,1}), (v_{1,2}), (...), (v_{1}, m))

ist

v_{1} \cdot x = 0 \Leftrightarrow x = v_{i} i \neq 1

. Dann müsste

x

ja für jeden Vektor anders sein?!?

Und für

A A^{T}

gilt ja immer kommt doch die Einheitsmatrix raus, da nur bei

i = j

(also der Diagonalen) 1 rauskommt und sonst Null, da man Spaltenvektoren von A mit den Zeilenvektoren von

A^{T}

rechnet, was ja beides Orthonormalsysteme (ONS) sind.

Hilfe

: (

ermanus aktiv_icon

13:12 Uhr, 02.05.2020

Wenn

A

nicht quadratisch ist, kommt bei

A A^{T}

in unserem Falle
bei

m < n

eben nicht die Einheitsmatrix heraus.
Du solltest dir wirklich Beispiele machen ...

ermanus aktiv_icon

13:35 Uhr, 02.05.2020

Ich mache dir noch einmal ein Simpelbeispiel,
damit du "nicht auf falsche Gedanken kommst":

Die Menge

{(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{array})}

ist ein Orthonormalsystem, das aus einem Vektor besteht (

m = 1, n = 2

).

Es bestehe die Matrix

A

nur aus dieser einen Spalte, dann ist

A A^{T} = (\begin{array}{cc} 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 1 / 2 \end{array})

EviOriginal aktiv_icon

13:46 Uhr, 02.05.2020

Aber in der Teilaufgabe davor musste ich noch zeigen, dass

A^{T} A =

I_m ist, was ich anscheinend auch falsch bewiesen habe, da ich aus Versehen von quadratischen Matrizen ausgegangen bin.

Aber bei deinem Beispiel kommt nicht I_m raus, wenn man

A^{T} \cdot A

multipliziert.

Hilfeee

ermanus aktiv_icon

13:53 Uhr, 02.05.2020

Doch! bei

A^{T} A

kommt

(1)

raus. Das ist gleich

I_{1}

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