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Sparkassenformel nach q umstellen - Polynom best.

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik, Newton-Verfahren, polynom

anonymous

14:48 Uhr, 24.06.2019

Hallo,

ich habe folgende Aufgabenstellung:

Auf ein Konto, das zu Beginn des ersten Jahres

2.000

€ aufweist, sollen

12

jährlich vorschüssige Einzahlungen in Höhe von

2.500

€ getätigt werden. Danach sollen (wenigstens)

35.000

€ angespart sein. Um herauszufinden, wie hoch die jährliche Verzinsung dafür mindestens sein muß, kann man ein Polynom erstellen, das rechts von 1 genau eine Nullstelle besitzt, die wiederum den Jahresaufzinsungsfaktor darstellt, der der gesuchten Verzinsung entspricht.
Bestimmen Sie dieses Polynom.

K_{n} =

35.000€

K_{0} =

2.000€

R =

2.500€

n = 12

Ich muss irgendwie die Sparkassenformel

K_{n} = K_{0} \cdot q^{n} + R \cdot q \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

nach

q

umstellen um das Polynom zu bestimmen, aber wie?

Endergebnis ist:

f (x) = 9 x^{13} - 4 x^{12} - 75 x + 70

Über Hilfe zu einem Lösungsansatz wäre ich sehr dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Newton-Verfahren
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

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15:21 Uhr, 24.06.2019

Hallo,

du kannst die Gleichung nicht nach q umstellen. Man kann aber die Gleichung in ein Polynom überführen. Die Werte einsetzen.

35000 = 2000 \cdot q^{12} + 2500 \cdot q \cdot \frac{q^{12} - 1}{q - 1}

Die Gleichung mit 2 multiplizieren und durch 1000 teilen.

70 = 4 \cdot q^{12} + 5 \cdot q \cdot \frac{q^{12} - 1}{q - 1}

Mit (q-1) multiplizieren

70 \cdot (q - 1) = 4 \cdot q^{12} \cdot (q - 1) + 5 \cdot q \cdot (q^{12} - 1)

Klammern ausmultiplizieren

70 q - 70 = 4 \cdot q^{13} - 4 q^{12} + 5 \cdot q^{13} - 5 q

usw.

Zum Schluss q durch x ersetzen.

Die relevante Nullstelle kannst du nur mit Hilfe eines Näherungsverfahren ermitteln, z.B. Newton-Raphson-Verfahren.

Gruß

pivot