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Spatzen und Leitungen

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge, Stochastik

railer322 aktiv_icon

13:08 Uhr, 29.04.2018

Habe leider das Problem eine Lösung nach zu vollziehen.

Es seien n ununterscheidbare Spatzen und m Leitungen gegeben. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf genau j Leitung keine Spatzen sitzen, wobei j so gewählt ist dass

0 \leq j \leq m - 1

seien soll. Die Anzahl der Möglichkeiten also

∣ Ω ∣

ist an sich ja ganz gut nachvollziehbar. Man nehme das Modell ohne Reihenfolge mit Zurücklegen und bekommt wenn man es einsetzt

(\binom{m + n - 1}{m - 1})

.

Das Problem liegt jetzt am Zähler, wobei der erste Teil noch klar ist. Es gibt

(\binom{m}{j})

Möglichkeiten j freie Leitungen auszuwählen und nun steht bei mir was ich nicht nachvollziehen kann. Es gilt n-(m-j) Spatzen auf m-j Leitungen zu verteilen, woraus

(\binom{n - (m - j) + (m - j) - 1}{m - j - 1}) = (\binom{n - 1}{m - j - 1})

folgt.
Insgesamt ergibt sich also

\frac{∣ A ∣}{∣ Ω ∣} = \frac{(\binom{m}{j}) (\binom{n - 1}{m - j - 1})}{(\binom{m + n - 1}{m - 1})}

Mein Problem liegt , daran, dass ich hier intuitiv für

∣ A ∣ = (\binom{m}{j}) * (\binom{(m - j) + n - 1}{m - j - 1})

gewählt hätte und ich nicht verstehen kann warum mein Ansatz falsch ist,bzw verstehe ich nicht warum im Ansatz für die Spatzen n-(m-j) gewählt wird.

Roman-22

15:50 Uhr, 29.04.2018

>

Man nehme das Modell ohne Reihenfolge mit Zurücklegen und bekommt wenn man es einsetzt m+n−1m−1 .
Bis du dir sicher, was diese Formel anlangt? Warum

m - 1

?
Und das problem scheint mir eher zu sein, dass es sich da um keinen Laplaceraum handelt. Dass also die verschiedenen Kombination nicht gleichwahrscheinlich sind und daher der Ansatz Günstige durch Mögliche für die WKT nicht greift.
Daher scheint es mir angebracht zu sein, mit unterscheidbaren Spatzen zu rechnen, also mit Variationen mit Whg anstelle der Kombinationen.
Woher stammt denn deine Musterlösung?
Im übrigen müsste es

max (0; m - n) \leq j \leq m - 1

lauten.
Denn zB bei

10

Spatzen und

100

Leitungen können ja nicht weniger als

90

leer bleiben.
Es wird ja nirgendwo

n \geq m

gefordert.

railer322 aktiv_icon

17:35 Uhr, 29.04.2018

Die Lösung stammt vom Tutorium ,muss jedoch auch irgendwie stimmen, nimmt man ein beliebiges n und m und geht alle möglichen j`s durch so summiert es sich auf 1.

In meinem "intuitiven Fall" bekommt schon die 1 für j=0 . Deshalb ist diese Lösung definitv falsch.

"Bis du dir sicher, was diese Formel anlangt? Warum m−1"

m-1 kommt von der Formel

(\binom{n + k - 1}{n - 1})

, wobei die Leitungen hier ironischerweise das n sind. und die Spatzen das k. Beim ziehen mit zurücklegen und ohne Reihenfolge ist es scheinbar nicht wichtig ob k oder n größer ist.

Roman-22

18:07 Uhr, 29.04.2018

> m - 1

kommt von der Formel n+k−1n−1,
Das ist nur ein Term. Zur Formel wirds vielleicht, wenn du dazu schreibts, was die Variablen bedeuten und was mit diesem Term berechnet wird.

Ich hätte anstelle von

m - 1

nur

n

geschrieben. Aber das ist gleichwertig.
Schließlich gilt

((\begin{matrix} m \\ n \end{matrix})) = (\begin{matrix} m + n - 1 \\ n \end{matrix}) = (\begin{matrix} m + n - 1 \\ m - 1 \end{matrix})

.

Die Anzahl der Möglichkeiten, die

n

Spatzen auf die

m - j

Leitungen zu verteilen erhältst du dann wenn du in diesem Ausdruck einfach anstelle von

m

eben die

m - j

schreibst. Also genau das, was du ja ohnedies "intuitiv" getan hast. Diese zusätzlichen

- (m - j)

in eurer Musterlösung sind allerdings tricky. Die

n

Spatzen müssen ja jetzt so auf die

m - j

Leitungen verteilt werden, dass jede Leitung von mindestens einem Spatzen besetzt wird (sonst hätten wir ja mehr als

j

freie Leitungen). Daher verteilt man in Gedanken zunächst

m - j

Spatzen so, dass jeder auf eine der zu besetzenden Leitungen kommt.
Nur die verbleibenden

n - (m - j)

Spatzen dürfen dann noch beliebig verteilt werden.

Dessen ungeachtet bleibt es für mich dabei, dass für

m > n

der Wert von

j

nicht kleiner als

m - n

werden kann und vor allem auch, dass diese Kominationen mit Whg. keinen Laplaceraum bilden und daher

P (A) = \frac{| A |}{| Ω |}

nicht anwendbar ist.

railer322 aktiv_icon

18:23 Uhr, 29.04.2018

"Die Anzahl der Möglichkeiten, die n Spatzen auf die m−j Leitungen zu verteilen erhältst du dann wenn du in diesem Ausdruck einfach anstelle von m eben die m−j schreibst."

Meinst du diese Formel?

\frac{(\binom{m - j + n - 1}{m - 1})}{(\binom{m + n - 1}{m - 1})}

"Dessen ungeachtet bleibt es für mich dabei, dass für m>n der Wert von j nicht kleiner als m−n werden kann."

Da hast du recht, sonst würde die Aufgabenstellung auch keinen Sinn machen, sollte glaube aber auch aus der Voraussetzung folgen, dass

j \leq m - 1

seien soll.

Es ist doch in erster Hinsicht wichtig, dass sich alle j`s zu 1 summieren, so dass ein Wk-Raum gegeben ist? Zudem stecken die Einzelwahrscheinlichkeiten auch im Nenner. Jedes j beansprucht einfach verschieden viele, weshalb ich nicht so ganz das Problem verstehe.

Roman-22

18:47 Uhr, 29.04.2018

>

Meinst du diese Formel?
Äh, ja. Aber die ist eben, wie vorhin noch ergänzt, falsch, da dabei auch passieren kann, dass noch weitere Leitungen frei bleiben. Da aber genau

j

Leitungen frei sein sollen, muss man, bevor man die Vögel beliebig verteilt, sicher stellen, dass auf jeder Leitung bereits ein Spatz sitzt.
Daher darf man dann eben nur mehr

n - (m - j)

Spatzen beliebig auf die

m - j

Leitungen verteilen.

>

sollte glaube aber auch aus der Voraussetzung folgen, dass j≤m-1 seien soll.
Nein, daraus folgt

j \geq m - n

eben noch nicht.
Nimm

m = 100

Leitungen und

n = 10

Spatzen. Klar können maximal

m - 1 = 99

Leitungen frei sein, aber es sind auch immer mindestens

90

Leitungen frei.

j

kann nie kleiner als

90

werden.

>

Es ist doch in erster Hinsicht wichtig, dass sich alle

j

s z u 1 \sum m i e r e n

Das besagt doch nur, dass es sich um eine gültige WKT-Verteilung handelt. Nicht aber, dass diese WKTE auch zu dem genannten Ereignis passen.

Nimm

m = 2

Leitungen und

n = 3

Spatzen, die wir uns jetzt aber unterscheidbar denken (das darf für die WKT keinen Einfluss haben).
Dann gibt es doch 8 Möglichkeiten, wie sich diese drei Spatzen ihre Leitung wählen können

(2^{3})

.
Nur in zwei Fällen bleibt

j = 1

Leitung frei. Die gesuchte WKT ist hier also

\frac{2}{8} = \frac{1}{4}

.
Was kommt bei der Formel eures Tutors raus?
Er rechnet mit nur vier Möglichkeiten, von denen zwei günstig sind und kommt damit auf

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

. Der Denkfehler ist, dass die Möglichkeit zwei Spatzen auf Leitung 1 und 1 Spatz auf Leitung 2 dreimal so wahrscheinlich ist wie die Variante "alle Spatzen auf Leitung 1".

Ähnlich wie beim Würfeln mit zwei ununterscheidbaren Würfeln die WKT für "einmal 2 und einmal 5" doppelt so groß ist wie " zweimal 1". Um das zu erkennen, macht man gedanklich auch erstmal die Würfel unterscheidbar um zu sehen, dass es für

(2; 5)

oder

(5; 2)

doppelt so viele Chancen gibt als wie für

(1; 1)

railer322 aktiv_icon

19:09 Uhr, 29.04.2018

habe deine Änderungen leider zu spät gesehen, weshalb meine Antwort ein wenig überflüssig war, einige Punkte,die du hier noch angesprochen hast, mit dem gültigem Wk-Raum,so muss ich ehrlicherweise sagen, dass ich mir noch ein Fall überlegen müsste, wo es nicht zum Ereignis passt, bin dir aber trotzdem dankbar, dass du mir hier helfen konntest.:-)

Roman-22

19:36 Uhr, 29.04.2018

>

so muss ich ehrlicherweise sagen, dass ich mir noch ein Fall überlegen müsste, wo es nicht zum Ereignis passt,
ich dachte, das hätte ich mit den drei Spatzen und 2 Leitungen bereits gemacht!?

railer322 aktiv_icon

20:40 Uhr, 29.04.2018

bin jetzt ein wenig verwirrt an dem Beispiel mit 2 Spatzen und 3 Leitungen, habe es davor ein wenig falsch gelesen, und jetzt verstehe ich nicht was richtig ist.

\frac{2}{8}

scheint eigentlich sehr logisch, merke es jetzt was du davor gemeint hast.

Roman-22

21:07 Uhr, 29.04.2018

\frac{1}{4}

ist richtig

railer322 aktiv_icon

21:26 Uhr, 29.04.2018

das macht Sinn, aber es wurde in dem Modell aus meinem Tutorium doch alles "scheinbar" berücksichtigt. Man hat ziehen mit zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge und wendet dies entsprechend an und alles scheint so logisch. Bin nun einfach ein wenig verwirrt, da "mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge" einfach 4 andere Möglichkeiten gestrichen werden und somit eine andere Wahrscheinlichkeit herauskommt.

Roman-22

22:01 Uhr, 29.04.2018

>das macht Sinn, aber es wurde in dem Modell aus meinem Tutorium doch alles "scheinbar" berücksichtigt. Man hat ziehen mit zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge und wendet dies entsprechend an und alles scheint so logisch. Bin nun einfach ein wenig verwirrt, da "mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge" einfach 4 andere Möglichkeiten gestrichen werden und somit eine andere Wahrscheinlichkeit herauskommt.

Wie gesagt, der Knackpunkt ist die Gleichwahrscheinlichkeit, die beim Ansatz eures Tutors nicht gegeben ist.
Ich vermute, dass der Aufgabenersteller das auch nicht bedacht hatte. Jedenfalls wäre die richtige Lösung recht kniffelig. Ich hab da noch keine kompakte Lösung, nur einen eher aufwändigen Ansatz unter Verwendung des Prinzips der Inklusion und Exklusion.

Roman-22

10:51 Uhr, 02.05.2018

Der Vollständigkeit halber zum Abschluss noch meine Lösung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei

n

Spatzen und

m

Leitungen bei zufälliger Verteilung der Spatzen auf die Leitungen genau

j

Leitungen frei bleiben, ist

P (j, n, m) = \frac{1}{m^{n}} (\begin{matrix} m \\ j \end{matrix}) \cdot \sum_{k = 0}^{m - j} [{(- 1)}^{k} \cdot (\begin{matrix} m - j \\ k \end{matrix}) \cdot {(m - j - k)}^{n}]

Siehe auch die beigefügten Bilder

\to c o m b i n (m, j)

steht da für

(\begin{matrix} m \\ j \end{matrix})

.
Natürlich summieren sich auch hier für konkrete Werte von

n

und

m

die WKTen für alle möglichen

j

zu 1.

Weiß jemand, ob sich der Summenterm, der die möglichen Anzahlen angibt,

n

Objekte auf

m

Plätze so zu verteilen, dass kein Platz leer bleibt, noch vereinfachen lässt?

\sum_{k = 0}^{m} [{(- 1)}^{k} \cdot (\begin{matrix} m \\ k \end{matrix}) \cdot {(m - k)}^{n}] =

1424769

1424329

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