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Spektralsatz

Universität / Fachhochschule

Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Selbstadjungiert, Spektralsatz, unitärer Vektorraum

 
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Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

21:07 Uhr, 11.07.2018

Antworten
Hallo,
es geht um folgenden Beweis des Spektralsatzes:
Sei f End (v) selbstadjungiert und (V,<,>) ein unitärer C-VR:
Es gibt eine ONB von V, die aus den Eigenvektoren von f besteht.

Beweis:
Sei n2.
Wähle Eigenvektor v von f( Das es überhaupt einen gibt, sichert doch die Existenz eines zugehörigen Eigenwertes, da C algebraisch abgeschlossen ist?)

und ergänze v1:=<v,v>-1v zu ONB (v1,v2',...,vn') von V.
Der Eigenwert λ1 zu v1 ist reell.
Dann hat die Matrix von f bzgl der ONB folgende Blockgestalt:

A=(λ10M)

Dabei soll 0n-1 mal die 0 sein und n-1 Einträge.
Die Frage ist, warum folgt =0 also, dass die Matrix hermitesch ist.
Liegt es schon an der Voraussetzung, dass die beschreibende Matrix eines selbstadjungierten Endo. hermitesch sein muss?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

09:37 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Kann vllt jmd helfen?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:07 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Hallo,
ja! Die darstellende Matrix eines selbstadjungierten Endomorphismus
bzgl. einer Orthonormalbasis ist hermitesch.
Gruß ermanus
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

13:10 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Aber folgt das dann gleich einfach so, dass A hermitesch ist.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:13 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Wenn ihr dieses Faktum nicht irgendwo schon in eurer Vorlesung
oder in euren Unterlagen bereits hattet, dann schau hier:

lp.uni-goettingen.de/get/text/3260

Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

13:20 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Doch natürlich.
Ich hätte gedacht, dass das klar ist, aber der Prof hat es irgendwie länger begründet, dass die =0 sind.
Ich kann mich leider nicht mehr so gut daran erinnern.
Aber egtl gibt es doch keinen anderen triftigen Grund.

Antwort
ermanus

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13:30 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Vielleicht hat er gern ein bisschen um die Ecke gedacht ;-)
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

13:40 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Ja wsl:-)
Mit dem Spektralsatz kann man doch damit jede hermitesche oder symmetrische Matrix, die ja jeweils die Darstellungsmatrizen eines selbstadjungierten Endo, diagonaliseren, wo bei die Digaonaleinträge reelle EW sind.
Damit kann man die Signatur (r,s) definieren, wobei die die +1r mal auf der Diagonale steht, die -1s mal.
Diese Form ergibt sich doch unmittelbar aus dem Spektralsatz, indem man jeweils positive EW bzw. negative EW normiert, wobei man zuerst die positiven EW auf die Diagonale "schreibt", danach die negativen.
Diese Umordung ist ja einfach mit reellen Permutationsmatrizen zu erreichen, für die gilt PTP=En.
Dabei ist die Signatur für eine Matrix eines selbstadjungierten Endo nur von der Matrix abhängig und nicht von der Art der Diagonalisierung nach dem Trägheitssatz von Sylvester.
Ist das alles so richtig.
Was ist genau gemeint mit der Art der Diagonalisierung?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:47 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Bei der "konkreten" Diagonalisierung hat man doch
an diversen Stellen Wahlmöglichkeiten, den jeweils nächsten Schritt
durchzuführen, irgendwann hat man dann die Diagonalgestalt
mit den auf 1, -1 oder 0 "normierten" Eigenwerten auf der Diagonale.
Und EGAL, wie man dahingekommen ist, ist die Anzahl der +1-en, die Anzahl der -1-en
und die Anzahl der 0-en immer dieselbe.
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

13:54 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Z.b wenn man die EW berechnet und man hat dazu das charakteristische Polynom ausgerechnet:
χA(x)=(x-1)(x-3)
Dann ich doch jeweils λ1=3 oder λ1=1 als ersten EW nehmen und erhalte dementprechend in meiner Basiswechselmatrix B unterschiedliche EV in der 1. Spalte,
D.h meine Diagonalmatrix D hat dann entweder in d11=3 oder d1(11)=1
Ist das so gemeint?
Antwort
ermanus

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14:03 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Ja. Bei mindestens zwei gleichen Eigenwerten könnte zudem die von dir
gewählte Basis von Eigenvektoren stark variieren ... etc. etc.
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

14:08 Uhr, 12.07.2018

Antworten
D.h also die Signatur ist unabhängig von der Wahl der Basis.
Damit kann man doch also die selbstadjungierten Endo mit ihrer Signatur klassifizieren und die Äuqivalenzrelation definieren, dass ähnliche Matrizen die gleiche Signatur haben.
Antwort
ermanus

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14:13 Uhr, 12.07.2018

Antworten
So ist es.
Daher kommen u.a. die Aussagen,
dass zwei quadratische Formen über
bzw. zwei hermitesche Formen über genau dann
äquivalent sind, wenn sie die gleiche Signatur haben.
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

14:20 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Das quadratische Formen bei gleicher Signatur äquivalent sind, liegt doch, daran dass die quadratische Form über die Polarisationsformel bijektiv zu einer symmetrischen Bilinearform korrespondiert und diese ja die Darstellungsmatrix eines selbstadjungierten Endo im euklischen VR ist, von der man weiß, dass die Signatur invariant ist gegenüber Basiswechsel.
So richtig?
Antwort
ermanus

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14:21 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Besser hätte ich es nicht ausdrücken können :-)
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

14:26 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Tausend Dank:-)
Jetzt sind mir endlich die Zusammenhänge klar:-)
Noch ganz kurz vllt etwas bestimmt triviales:
Ich habe ja vorher zu einem EW λ1=3 den zugehörigen EV in die erste Spalte meiner Basiswechselmatrix B geschrieben.
Das geht doch nur so einfach, wenn man den Basiswechsel zur kanonischen Basis e1,...,en betrachtet, da dann die Koeffizieten in der 1. Spalte den EV selbst entsprechen oder?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:29 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Ja, da hast du Recht. Die Einträge in der Basiswechselmatrix
sind die Koordinaten bzgl. der Standardbasis (mit irgendwas
"handfesten" muss man ja anfangen ;-)).

Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

15:27 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Danke dir:-)
Ich habe leider noch eine Frage zum Beweis des Trägheitsatzes von Sylvester:
Die Signatur (r,s) von hermiteschen bzw. symmetrischen Matirzen hängt nur von der Matrix selbst ab und nicht von der Wahl der Diagonalsierung.
Beweis:
A habe btgl. Basen B=(v1,..,vn) und B'=(v1',...,vn') Diagonalform mit Signaturen (r,s) und (r',s')
Für rr' sei o.B.d.Ar>r'

und U:=(v1,..,vr) und U':=(v'r+1,...,v'n)
Mit der Dimensionsformel für UR gilt:
dim(UU')=dimU+dimU'-dim(U+U')
dimU+dimU'-n=r+(n-r')-n=r-r'>0.
Somit ex. ein v(UU')\{0} mit
vTAv¯>0 da vU
und vTAv'¯<0 da vU'
D.h Widerspruch:
Warum gibt es einmal das >0 und <0?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:22 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Muss es nicht Uʹ:=(vʹrʹ+1,,vʹn) heißen?
Also rʹ+1 statt r+1 ?
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

16:41 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Ja stimmt. Daran siehst du, dass ich es nicht verstanden habe:(
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:59 Uhr, 12.07.2018

Antworten
OK.
Auf U ist A wegen der gegebenen Signatur positiv definit,
auf Uʹ (das ist ja der Teil der Diagonale "unterhalb" der
"Positivitätsstellen" 1,,rʹ ist A negativ definit.
Liegt also ein Vektor v zugleich in U als auch in Uʹ, so
muss einerseits vTAv>0, aber zugleich auch vTAv<0 sein.
Stell dir V als direkte Summe vor:
V=U+U-=Uʹ+Uʹ-.
Auf U=U+ und Uʹ+ ist die Bilinearform positiv definit,
auf U- und Uʹ=Uʹ- ist die Bilinearform negativ definit.
Nun liegt "unser" v in U+Uʹ-.

Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

18:33 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Ok das habe ich verstanden. Dann muss der Schnitt von UU'={0} sein. Aber das war ja ausgeschlossen. Also Widerspruch. Somit gilt die Gleichheit.
Warum wählt man aber den Unterraum U' so komisch?
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

18:58 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Oder ist es aus dem Grund, dass wenn r=r' gilt, die UR übereinstimmen würden.

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

18:59 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Genau das ist es :-)
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

19:02 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Danke:-)
Ist jede symmetrische Bilinearform ein selbstadjungierter Endo?
Die Darstellung einer symmetrischen Bilinearform ist eine symmetrische Matrix im euklidischen VR und eine symmetrische Matrix beschreibt einen selbstadjungierten Endo.
Also muss das doch stimmen?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

20:21 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Ja, sei A eine symmetrische Matrix und <,> das Standardskalarprodukt.
Dann gilt:
<Ax,y>=(Ax)Ty=(xTAT)y=(xTA)y=xT(Ay)=<x,Ay>,
d.h. xAx ist selbstadjungiert.
Die Bilinearform selbst ist natürlich kein Endomorphismus, da sie ja keine
lineare Abbildung VV, sondern eine bilineare Abbildung V×VV ist.



Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

20:26 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Dann stimmt doch meine Aussage von vorher nicht:
Das quadratische Formen bei gleicher Signatur äquivalent sind, liegt doch, daran dass die quadratische Form über die Polarisationsformel bijektiv zu einer symmetrischen Bilinearform korrespondiert und diese ja die Darstellungsmatrix eines selbstadjungierten Endo im euklischen VR ist, von der man weiß, dass die Signatur invariant ist gegenüber Basiswechsel.

Das :
zu einer symmetrischen Bilinearform korrespondiert und diese ja die Darstellungsmatrix eines selbstadjungierten Endo
ist doch falsch oder?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

20:30 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Verstehe dein Problem nicht :(
Die Aussage ist doch ganz richtig. Du sprichst doch auch nicht von einer
Gleichheit der Bilinearform mit einem Endo, sondern von einer Korrespondenz (!).
Und das ist doch vollkommen korrekt.

Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

20:35 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Ich verstehe nicht selbst nicht mehr:(
Die symmetrische Bilinearform korrespondiert zu dem selbstadjungierten Endo.,
weil die Darstellungsmatrix von einer symmetrische Bilinearform und dem selbstadjungierten Endo. gleich sind.
Oder wie geht das richtig?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

20:39 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Eine symmetrische Matrix A kann ich auf zweierlei Weise deuten:
zum einen als Gramsche Matrix einer symmetrischen Bilinearform,
zum anderen als darstellende Matrix eines selbstadjungierten Endomorphismus.

Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

20:43 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Die Matrix für die Bilinearform ist doch auch eine Art Darstellungsmatrix. Oder was ist der genaue Unterschied zur der des selbstadjungierten Endo?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

20:50 Uhr, 12.07.2018

Antworten
In einem Falle stellt die Matrix einen Endomorphismus bzgl. einer Basis
dar, im anderen Falle ist sie die darstellende Matrix einer Bilinearform
bzgl. einer Basis. D.h. es ist die gleiche Matrix in zwei
verschiedenen Rollen.

Sei die symmetrische Matrix etwa A,

dann beschreibt sie per xAx einen Endomorphismus
und per (x,y)<Ax,y>=xTAy eine symmetrische Bilinearform.

Frage beantwortet
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

20:54 Uhr, 12.07.2018

Antworten
Aso daher bekomme ich die Korrespondenz.
Danke, dass du dir Mühe gemacht hast, das nochmal so übersichtlich zu schreiben:-)
Vielen Dank, dass mir immer hilft:-)
Ich wünsche dir einen schönen Abend:-)