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Spektralsatz
Universität / Fachhochschule
Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Selbstadjungiert, Spektralsatz, unitärer Vektorraum
 
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Hallo, es geht um folgenden Beweis des Spektralsatzes: Sei End selbstadjungiert und ein unitärer C-VR: Es gibt eine ONB von die aus den Eigenvektoren von besteht. Beweis: Sei . Wähle Eigenvektor von Das es überhaupt einen gibt, sichert doch die Existenz eines zugehörigen Eigenwertes, da algebraisch abgeschlossen ist?) und ergänze zu ONB von V. Der Eigenwert zu ist reell. Dann hat die Matrix von bzgl der ONB folgende Blockgestalt: Dabei soll mal die 0 sein und Einträge. Die Frage ist, warum folgt also, dass die Matrix hermitesch ist. Liegt es schon an der Voraussetzung, dass die beschreibende Matrix eines selbstadjungierten Endo. hermitesch sein muss? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Kann vllt jmd helfen? |
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Hallo, ja! Die darstellende Matrix eines selbstadjungierten Endomorphismus bzgl. einer Orthonormalbasis ist hermitesch. Gruß ermanus |
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Aber folgt das dann gleich einfach so, dass A hermitesch ist. |
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Wenn ihr dieses Faktum nicht irgendwo schon in eurer Vorlesung oder in euren Unterlagen bereits hattet, dann schau hier: lp.uni-goettingen.de/get/text/3260 |
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Doch natürlich. Ich hätte gedacht, dass das klar ist, aber der Prof hat es irgendwie länger begründet, dass die sind. Ich kann mich leider nicht mehr so gut daran erinnern. Aber egtl gibt es doch keinen anderen triftigen Grund. |
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Vielleicht hat er gern ein bisschen um die Ecke gedacht ;-) |
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Ja wsl:-) Mit dem Spektralsatz kann man doch damit jede hermitesche oder symmetrische Matrix, die ja jeweils die Darstellungsmatrizen eines selbstadjungierten Endo, diagonaliseren, wo bei die Digaonaleinträge reelle EW sind. Damit kann man die Signatur definieren, wobei die die mal auf der Diagonale steht, die mal. Diese Form ergibt sich doch unmittelbar aus dem Spektralsatz, indem man jeweils positive EW bzw. negative EW normiert, wobei man zuerst die positiven EW auf die Diagonale "schreibt", danach die negativen. Diese Umordung ist ja einfach mit reellen Permutationsmatrizen zu erreichen, für die gilt . Dabei ist die Signatur für eine Matrix eines selbstadjungierten Endo nur von der Matrix abhängig und nicht von der Art der Diagonalisierung nach dem Trägheitssatz von Sylvester. Ist das alles so richtig. Was ist genau gemeint mit der Art der Diagonalisierung? |
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Bei der "konkreten" Diagonalisierung hat man doch an diversen Stellen Wahlmöglichkeiten, den jeweils nächsten Schritt durchzuführen, irgendwann hat man dann die Diagonalgestalt mit den auf 1, -1 oder 0 "normierten" Eigenwerten auf der Diagonale. Und EGAL, wie man dahingekommen ist, ist die Anzahl der +1-en, die Anzahl der -1-en und die Anzahl der 0-en immer dieselbe. |
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wenn man die EW berechnet und man hat dazu das charakteristische Polynom ausgerechnet: Dann ich doch jeweils oder als ersten EW nehmen und erhalte dementprechend in meiner Basiswechselmatrix unterschiedliche EV in der 1. Spalte, meine Diagonalmatrix hat dann entweder in oder Ist das so gemeint? |
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Ja. Bei mindestens zwei gleichen Eigenwerten könnte zudem die von dir gewählte Basis von Eigenvektoren stark variieren ... etc. etc. |
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also die Signatur ist unabhängig von der Wahl der Basis. Damit kann man doch also die selbstadjungierten Endo mit ihrer Signatur klassifizieren und die Äuqivalenzrelation definieren, dass ähnliche Matrizen die gleiche Signatur haben. |
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So ist es. Daher kommen u.a. die Aussagen, dass zwei quadratische Formen über bzw. zwei hermitesche Formen über genau dann äquivalent sind, wenn sie die gleiche Signatur haben. |
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Das quadratische Formen bei gleicher Signatur äquivalent sind, liegt doch, daran dass die quadratische Form über die Polarisationsformel bijektiv zu einer symmetrischen Bilinearform korrespondiert und diese ja die Darstellungsmatrix eines selbstadjungierten Endo im euklischen VR ist, von der man weiß, dass die Signatur invariant ist gegenüber Basiswechsel. So richtig? |
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Besser hätte ich es nicht ausdrücken können :-) |
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Tausend Dank:-) Jetzt sind mir endlich die Zusammenhänge klar:-) Noch ganz kurz vllt etwas bestimmt triviales: Ich habe ja vorher zu einem EW den zugehörigen EV in die erste Spalte meiner Basiswechselmatrix geschrieben. Das geht doch nur so einfach, wenn man den Basiswechsel zur kanonischen Basis betrachtet, da dann die Koeffizieten in der 1. Spalte den EV selbst entsprechen oder? |
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Ja, da hast du Recht. Die Einträge in der Basiswechselmatrix sind die Koordinaten bzgl. der Standardbasis (mit irgendwas "handfesten" muss man ja anfangen ;-)). |
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Danke dir:-) Ich habe leider noch eine Frage zum Beweis des Trägheitsatzes von Sylvester: Die Signatur von hermiteschen bzw. symmetrischen Matirzen hängt nur von der Matrix selbst ab und nicht von der Wahl der Diagonalsierung. Beweis: A habe btgl. Basen und Diagonalform mit Signaturen und Für sei und und Mit der Dimensionsformel für UR gilt: . Somit ex. ein mit da und da Widerspruch: Warum gibt es einmal das und ? |
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Muss es nicht heißen? Also statt ? |
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Ja stimmt. Daran siehst du, dass ich es nicht verstanden habe:( |
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OK. Auf ist wegen der gegebenen Signatur positiv definit, auf (das ist ja der Teil der Diagonale "unterhalb" der "Positivitätsstellen" ist negativ definit. Liegt also ein Vektor zugleich in als auch in , so muss einerseits , aber zugleich auch sein. Stell dir als direkte Summe vor: . Auf und ist die Bilinearform positiv definit, auf und ist die Bilinearform negativ definit. Nun liegt "unser" in . |
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Ok das habe ich verstanden. Dann muss der Schnitt von sein. Aber das war ja ausgeschlossen. Also Widerspruch. Somit gilt die Gleichheit. Warum wählt man aber den Unterraum so komisch? |
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Oder ist es aus dem Grund, dass wenn gilt, die UR übereinstimmen würden. |
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Genau das ist es :-) |
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Danke:-) Ist jede symmetrische Bilinearform ein selbstadjungierter Endo? Die Darstellung einer symmetrischen Bilinearform ist eine symmetrische Matrix im euklidischen VR und eine symmetrische Matrix beschreibt einen selbstadjungierten Endo. Also muss das doch stimmen? |
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Ja, sei eine symmetrische Matrix und das Standardskalarprodukt. Dann gilt: , d.h. ist selbstadjungiert. Die Bilinearform selbst ist natürlich kein Endomorphismus, da sie ja keine lineare Abbildung , sondern eine bilineare Abbildung ist. |
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Dann stimmt doch meine Aussage von vorher nicht: Das quadratische Formen bei gleicher Signatur äquivalent sind, liegt doch, daran dass die quadratische Form über die Polarisationsformel bijektiv zu einer symmetrischen Bilinearform korrespondiert und diese ja die Darstellungsmatrix eines selbstadjungierten Endo im euklischen VR ist, von der man weiß, dass die Signatur invariant ist gegenüber Basiswechsel. Das : zu einer symmetrischen Bilinearform korrespondiert und diese ja die Darstellungsmatrix eines selbstadjungierten Endo ist doch falsch oder? |
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Verstehe dein Problem nicht :( Die Aussage ist doch ganz richtig. Du sprichst doch auch nicht von einer Gleichheit der Bilinearform mit einem Endo, sondern von einer Korrespondenz (!). Und das ist doch vollkommen korrekt. |
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Ich verstehe nicht selbst nicht mehr:( Die symmetrische Bilinearform korrespondiert zu dem selbstadjungierten Endo., weil die Darstellungsmatrix von einer symmetrische Bilinearform und dem selbstadjungierten Endo. gleich sind. Oder wie geht das richtig? |
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Eine symmetrische Matrix kann ich auf zweierlei Weise deuten: zum einen als Gramsche Matrix einer symmetrischen Bilinearform, zum anderen als darstellende Matrix eines selbstadjungierten Endomorphismus. |
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Die Matrix für die Bilinearform ist doch auch eine Art Darstellungsmatrix. Oder was ist der genaue Unterschied zur der des selbstadjungierten Endo? |
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In einem Falle stellt die Matrix einen Endomorphismus bzgl. einer Basis dar, im anderen Falle ist sie die darstellende Matrix einer Bilinearform bzgl. einer Basis. D.h. es ist die gleiche Matrix in zwei verschiedenen Rollen. Sei die symmetrische Matrix etwa , dann beschreibt sie per einen Endomorphismus und per eine symmetrische Bilinearform. |
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Aso daher bekomme ich die Korrespondenz. Danke, dass du dir Mühe gemacht hast, das nochmal so übersichtlich zu schreiben:-) Vielen Dank, dass mir immer hilft:-) Ich wünsche dir einen schönen Abend:-) |
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