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Spektrum des Linksshift-Operators

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Linksshift, Spektrum

 
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Pombaer

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21:32 Uhr, 16.07.2014

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Hallo,

ich möchte die approximativen Eigenwerte des Links-Shift-Operators
S:l2(ℕ)→l2(ℕ),(xn)n∈ℕ↦(x2,x3,...)
ausrechnen.

Die Behauptung ist, dass σap(S)={λ∈ℂ;∣λ∣=1}.

Jetzt habe ich allerdings gezeigt, dass σP(S)={λ∈ℂ;∣λ∣<1} und σ(S)={λ∈ℂ;∣λ∣≤1}. Weiter habe ich gezeigt, dass σP(T)⊂σap(T)⊂σ(T) für alle T∈L(V), V ein Banachraum.

Wo liegt mein Fehler?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

09:37 Uhr, 17.07.2014

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"Die Behauptung ist, dass σap(S)={λ∈ℂ;∣λ∣=1}."

Diese Behauptung ist falsch. Natürlich ist σp(S)={λ∈ℂ;∣λ∣<1}" und dementsprechend muss σap(S) zumindest {λ∈ℂ;∣λ∣<1} enthalten. Es sei denn, mann definiert approximative Eigenwerte ausdrücklich als "keine echte Eigenwerte", was ich aber noch nie gesehen habe.
Pombaer

Pombaer aktiv_icon

10:52 Uhr, 17.07.2014

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Danke für deine Antwort. Kann man denn eine konkrete Menge für σap(S) angeben?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:05 Uhr, 17.07.2014

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Ja, wegen {λ∈ℂ;∣λ∣<1}=σp(S)⊂σap(S)⊂σ(S)={λ∈ℂ;∣λ∣≤1} und
{λ∈ℂ;∣λ∣=1}=∂σ(S)⊂σap(S) gilt in diesem Fall σap(S)={λ∈ℂ;∣λ∣≤1}.

Wegen ∂σ(S)⊂σap(S) kannst Du hier nachschlagen:
http//www.mathematik.uni-ulm.de/m5/balser/Skripten/Funktionalanalysis.pdf
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