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Spektrum einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis

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18:12 Uhr, 15.01.2010

Hallo

Als allererstes möchte ich eine Frage stellen auf die die Antwort ich bereits kenne - aber nicht die bedeutung dessen - also bitte keine mathematische Definition schreiben.

Was ist das Spektralbereich? In dem sinne was stellt es dar? -Wenn ich eine Funktion mit Laplace, Fourier oder Z-Transformation transformiere, dann komme ich von Zeitbereich in den Spektralbereich - ok, das es einfach eine Abbildung ist, ist kalr. Aber was sehe ich dann - was kann unter den spektren verstehen?

Ich nehme jetzt ein Beispiel aus digitalen Signalverarbeitung - ich habe eine Übertragungsfunktion $x$ hoch $3 -$ und gebe da eine Sinusschwingung drauf - an sich ist klar - Am ausgang habe ich dann eine Funktion die im Zeitbereich etwa so $\begin{matrix} \cap \end{matrix} - \begin{matrix} \cup \end{matrix} - \begin{matrix} \cap \end{matrix} - \begin{matrix} \cup \end{matrix}$ aussieht. Aber im Spektralbereich ( Mittels Fast Foerier Transformation berechnet ) gibt es jetzt 2 Spektren die etwa so aussehen. Was sind nun diese Spektren? - ich weiß was man daraus ablesen kann, ich weis sogar wieso es 2 zwei sind $\cos^{3} a = (3 \cos a - \cos (3 a))$ - aber ich verstehe einfach nicht was es ist. Wo oder Wie kann ich mir diese räumlich vorstellen? Welche auswirkungen haben diese z.B. auf das Zeitbereich? -Was passiert im Zeitbereich wenn die Spektren in Frequenzbereich sich ändern? -Das sind die Sachen die ich wissen muss.

Um jetzt nicht auf dem beispiel zu beharren - ich will allgemein wissen was ich im Spektralbereich sehe - und zwar nicht einfaches "Abbildung von Zeitbereich in Spektralbereich" oder im Spektralbereich kann man die Frequenzanteile sehen - was sind diese Frequenzanteile? -Das ist die eigentliche Frage.

Und noch was - ich habe mal selbst, ohne korrespondenztabellen, eine Laplace transformation von x hoch 3 versucht - habe aber als ergenbis etwas saltsames bekommen. Nach der Korrespondeztabelle sollte $t^{n} \to \frac{n!}{s^{n + 1}}$ also sollte $x^{3} \to \frac{3!}{s^{4}}$ rauskommen

Was ich jedoch berechnet habe ist folgendes:

$\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{- s t} d t$ Laplaceintegral

$u^{'} = e^{- s t} u = {- \frac{1}{s} e}^{- s t} u 2 = {\frac{1}{s^{2}} e}^{- s t} u 3 = {- \frac{1}{s^{3}} e}^{- s t} u 4 = {\frac{1}{s^{4}} e}^{- s t} g = x^{3} g^{'} = {3 x}^{2} g^{''} = 6 x g^{'''} = 6$

Jetzt mache ich 3 man Partielle integration

$\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{- s t} d t =$ $- \frac{1}{s} e^{- s t} \cdot x^{3} - \int_{0}^{\infty} {3 x}^{2} \cdot (- \frac{1}{s} e^{- s t}) d t$

$\int_{0}^{\infty} {3 x}^{2} \cdot (- \frac{1}{s} e^{- s t}) d t = \frac{1}{s^{2}} e^{- s t} \cdot 3 x^{2} - \int_{0}^{\infty} 6 x \cdot \frac{1}{s^{2}} e^{- s t} d t$

$\int_{0}^{\infty} 6 x \cdot \frac{1}{s^{2}} e^{- s t} d t = - \frac{1}{s^{3}} e^{- s t} \cdot 6 x - \int_{0}^{\infty} 6 \cdot (- \frac{1}{s^{3}} e^{- s t}) d t$

Jetzt lösche ich den Integral auf

$\int_{0}^{\infty} 6 \cdot (- \frac{1}{s^{3}} e^{- s t}) d t = 6 \cdot {[\frac{1}{s^{4}} e^{- s t}]}_{0}^{\infty} = 6 (0 - \frac{1}{s^{4}} \cdot 1) = - \frac{6}{s^{4}}$

setze das ergebnis ein:

$\int_{0}^{\infty} 6 x \cdot \frac{1}{s^{2}} e^{- s t} d t = - \frac{1}{s^{3}} e^{- s t} \cdot 6 x - (- \frac{6}{s^{4}}) = - \frac{6 x}{s^{3}} e^{- s t} + \frac{6}{s^{4}}$

Noch mal einsetzen:

$\int_{0}^{\infty} {3 x}^{2} \cdot (- \frac{1}{s} e^{- s t}) d t = \frac{1}{s^{2}} e^{- s t} \cdot 3 x^{2} - (- \frac{6 x}{s^{3}} e^{- s t} + \frac{6}{s^{4}}) = \frac{{3 x}^{2}}{s^{2}} e^{- s t} + \frac{6 x}{s^{3}} e^{- s t} - \frac{6}{s^{4}}$

Und noch eine Ebene höher einsetzen:

$\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{- s t} d t = - \frac{x^{3}}{s} e^{- s t} - \frac{{3 x}^{2}}{s^{2}} e^{- s t} - \frac{6 x}{s^{3}} e^{- s t} + \frac{6}{s^{4}}$

Nun noch etwas zusammengefasst:

$- \frac{x^{3}}{s} e^{- s t} - \frac{{3 x}^{2}}{s^{2}} e^{- s t} - \frac{6 x}{s^{3}} e^{- s t} + \frac{6}{s^{4}} = \frac{- s^{3} x^{3} e^{- s t} - s^{2} {3 x}^{2} e^{- s t} - s {6 x}^{} e^{- s t} + 6}{s^{4}}$

Ist aber trotzdem was ganz anderes als nach der Tabelle - kann mir vielleicht einer sagen was ich falsch gemacht habe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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12:02 Uhr, 17.01.2010

Hier meine dürftigen Kenntnisse:

Du hast eine Wechselspannungsquelle. Diese liefert die Spannung

U_{1} (t) = 0,75 V \cdot cos (ω_{1} \cdot t) = 0,75 V \cdot cos (2 \cdot π \cdot f_{1} \cdot t)

wobei

f_{1} =

1MHz

= 1000000 s^{- 1}

ist.

Eine zweite Wechselspannungsquelle liefert die Spannung

U_{2} (t) = 0,25 V \cdot cos (ω_{2} \cdot t) = 0,25 V \cdot cos (2 \cdot π \cdot f_{2} \cdot t)

wobei

f_{2} = 3 \cdot f_{1} =

3MHz

= 3000000 s^{- 1}

ist.

Wenn du ein Radio in die Nähe stellst, so wird dieses bei den Frequenzen 1MHz und 3MHz jeweils einen starken Sender anzeigen. Ein Spektralanalysator (teuer!) liefert auf seinem Bildschirm ein Spektrum,

d . h

. ein Diagramm, bei dem die Frequenz

(z . B

. von 0,1MHz bis 10MHz) nach rechts und die Signalstärke nach oben aufgetragen ist. Dieses zeigt dann zwei Linien bei 1MHz bzw. 3MHz, wobei erstere entsprechend der größeren Sendeleistung

\sqrt{3}

mal so hoch ist wie letztere.

Nun schaltest du die beiden Spannungsquellen in Serie. Dabei addieren sich zu jedem Zeitpunkt ihre Spannungen. Die Summenspannung ist

U (t) = U_{1} (t) + U_{2} (t) = 1 V \cdot {(cos (ω \cdot t))}^{3} = 1 V \cdot {(cos (2 \cdot π \cdot f \cdot t))}^{3}

wobei

f =

1MHz

= 1000000 s^{- 1}

ist.

Es gilt nämlich:

{(cos (α))}^{3} = \frac{3}{4} \cdot cos (α) + \frac{1}{4} \cdot cos (3 \cdot α)

Diese Spannung erzeugt genau das gleiche Spektrum wie zuvor. Das Radiogerät arbeitet hier als einfacher Fourieranalysator (Die Serienschaltung der beiden Wechselspannungsquellen bewirkt dagegen eine Fouriersynthese).

Komplizierte periodische Kurvenformen kann man durch Überlagerung mehrerer Sinuskurven synthetisieren, wobei deren Frequenzen Vielfache einer Grundfrequenz

f

sind. Das Spektrum besteht also aus einzelnen (diskreten) Linien bei den Frequenzen

f, 2 \cdot f, 3 \cdot f

usw.

Es gibt aber auch komplizierte nicht-periodische Kurvenformen, die ein kontinuierliches Frequenzspektrum besitzen,

z . B

. die menschliche Sprache, welche Frequenzen von etwa 100Hz bis 10000Hz enthält.

Am einfachsten ist es, du lädst dir ein kostenloses Oszilloskopprogramm für die Soundkarte herunter, welches auch ein Fourier Spektrum darstellen kann. Dann brauchst du nur noch ein Mikrofon, um die Mikrofonspannung in der Form

U (t)

oder als Spektrum

P (f) (P =

Leistung) anzeigen zu lassen.

Das Programm gibt es bei

http//www.zeitnitz.de/Christian/scope_de

GRUSS, DK2ZA

onkelbenz aktiv_icon

18:00 Uhr, 17.01.2010

Also in Spektralbereich sehe ich Spektren an denen stellen wo in Zeitbereich die freuenz war. In andere Richtung kann ich sagen das dort, wo die Spektren jetzt stehen im Zeitbereich die Freuenzen waren.

Nun, spiele ich noch etwas mit dem Programm wo du mir gegeben hast, vielleicht schaffe ich dann den Zusammenhang wirklich zu verstehen.

danke dir

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