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Spektrum eines Operator berechnen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Operator, Spektrum

morrejr aktiv_icon

13:58 Uhr, 09.11.2017

Hallo,

ich würde gerne zeigen, dass das Spektrum des folgenden Operators

B u (x) = u (x - 1), x > 1

und

B u (x) = 0, x \in [0, 1)

für

u \in L_{p} (ℝ^{+})

gerade dem komplexen Einheitsball

{\bar{B}}_{ℂ} (0, 1)

entspricht.

Ich verzweifle gerade daran, einen Operator

S

zu finden für den

(λ - B) S u (x) = u (x)

gilt für alle

λ \in ℂ \ {\bar{B}}_{ℂ} (0, 1)

, womit

(λ - B)

subjektiv wäre und somit

λ

in der resolventenmenge wäre.
Danke für jeden Hinweis.
MfG morrejr

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

14:10 Uhr, 09.11.2017

Z.B. für

λ = 2

definiert man

g (x) := S u (x)

wie folgt:
für

x \in [0, 1)

gilt

g (x) = u (x) / 2

, für

x \geq 1

gilt

g (x) = g (x - 1) / 2 + u (x) / 2

- rekursive Definition.

Aber ich glaube nicht, dass dies der richtige Weg ist. Dass Spektrum im Ball

\overline{B (0, 1)}

liegt, folgt doch daraus, dass die Norm des Operators =1 ist.

morrejr aktiv_icon

14:15 Uhr, 09.11.2017

Danke schon einmal für deine Antwort.

Das das daraus folgt, dass die Norm =1 ist, folgt dann aus dem Theorem für das Spektrum beschränkter Operatoren oder?
Da dann gilt

σ (B) = \bar{B} (0, R (B))

, wobei

R (B)

der spektralradius ist.
Wie zeige ich denn, dass die Norm von B gleich 1 ist?

DrBoogie aktiv_icon

14:19 Uhr, 09.11.2017

\int_{0}^{\infty} ∣ B u (x) ∣^{p} d x = \int_{1}^{\infty} ∣ u (x - 1) ∣^{p} d x = \int_{0}^{\infty} ∣ u (x) ∣^{p} d x

. Das ist sogar eine Isometrie.

DrBoogie aktiv_icon

14:29 Uhr, 09.11.2017

Was das Spektrum insgesamt angeht, so würde ich versuchen, das irgendwie auf den Shift-Operator auf dem Folgenraum

l_{p}

zurückzuführen. Da ist es einfacher zu zeigen, dass das Spektrum die ganze abgeschlossene "Kugel" ist.

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