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Spezialfall Apollonisches Problem
Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 10. Klassenstufe
Tags: Apollonisches Problem, Berührungspunkt, Kreis, Trilateration
 
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Hallo Leute, ich stehe zur Zeit vor einem knackigen Mathe-/Geometrieproblem. Ich würde es als Speialfall des Apollonischen Problems bezeichnen. Das Problem ist folgendes: Ich habe 3 Kreise mit bekannten Mittelpunkten, es sind aber nur die Verhältnisse der Radien bekannt. Und dann gibt es noch einen bekannten Punkt. Ich möchte jetzt einen Kreis (Radius und Mittelpunkt) finden, welcher den Punkt berührt, und die anderen 3 Kreise tangential berührt (sie aber nicht einschließt). Man könnte jetzt die Algebraische Lösung des Apollonischen Problems mit der Bedienung, dass der Kreis noch den Punkt berührt “erweitern“, dann hätte man ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten. Dieses zu lösen dürfte jedoch aufwändig sein (habs aber noch nicht händisch probiert). Oder hier ein anderer Ansatz, der recht intuitiv ist, mir jedoch noch schwerer zu lösen erscheint: r ... Radius des gesuchten Kreises r_1 bis r_3 ... Radien der bekannten Kreise A bis C ... Mittelpunkte der bekannten Kreise D ... bekannter Punkt P ... Mittelpunkt des unbekannten Kreises a_1 bis a_3 ... bekannte Werte u ... unbekannter Faktor Definiere: r_n = a_n*u Durch die bekannten Verhältnisse kann man a_1 bis a_4 ausrechnen. Und dann gilt: |P-A|=a_1*u+r |P-B|=a_2*u+r |P-C|=a_3*u+r |P-D|=r Man hat rein theoretisch genug Gleichungen, um P zu berechnen, aber das Gleichungssysteme scheint mir ein bisschen zu komplex (-: Ich habs schon probiert mit Wolframalpha und einem anderen Onlinetool zu lösen, aber die haben nur gesagt, dass es keine Lösung gibt, und händisch wird das ganz nur noch komplexer... Gibt es für dieses Problem einen anderen Ansatz, oder muss ich mich tatsächlich durch diese ewig langen Gleichungen kämpfen? Ps: Diese Aufgabe ist nicht für die Schule, sondern hat was mit einem privaten Projekt und Trilateration mit unbekannter Ausbreitungsgeschwindigkeit zu tun... Wer Rechtschreibfehler findet, darf sie behalte (-: Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis und Mittelsenkrechte Kreis: Umfang und Flächeninhalt Kreise und Lagebeziehungen Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade |
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Hallo ich denke nicht, dass man das Problem ausser bei spezieller Lage von lösen kann. Schrumpfe die 3 Kreise auf Radius dann suchst du einen Kreis, der durch 4 Punkte geht? warum denkst du, dass das Problem mit endlichen Radien lösbar wird? Gruß ledum |
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Es muss möglich sein, weil es ein Problem mit einer existierenden Lösung aus der realen Welt ist :-) Vielleicht hab ichs nicht gut genug beschrieben, aber es geht darum, dass sich vom Punkt P (siehe Anhang) eine Schallwelle mit unbekannter Ausbreitungsgeschwindigkeit ausbreitet. Nach einer unbekannten Zeit erreicht dieses Signal den Sensor D, danach wird die Verzögerung für das Eintreffen des Signals an Sensor A, B und C gemessen und werden als Zeiten t_a, t_b, t_c gespeichert. Die Positionen von A, B, C und D sind bekannt. Nur mithilfe dieser Daten kann der Punkt P berechnet werden. Ich habe dafür auch bereits Formeln (siehe erster Beitrag) aufgestellt, jedoch entpuppen sich diese als Polynomgleichungen 4.Grades beim lösen. Die Frage ist jetzt, ob es irgendeine bessere Möglichkeit gibt dieses System zu lösen, oder ob es einen komplett anderen Ansatz gibt? Hier das Bild: ibb.co/Qr8TdRn Ich weiß leider nicht, wie man Bilde sonst einfügt. Ps: Ich möchte nochmal betonen, dass das nicht für die Schule ist, und ich dabei persönlich vor einer Herausforderung stehe, die ich einfach nicht auf die simple Art und Weise zu lösen vermag... |
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Die Formulierung "bekannte Kreise" ist wohl etwas missverständlich und hat ledum zu dem genannten berechtigten Gegenargument geführt. Wahrscheinlich ist die Problemstellung aber so gemeint: und damit auch die drei zugehörigen Kreise sind nicht von vornherein bekannt, sondern wie erwähnt nur die Proportionalwerte . Die Behauptung ist nun nicht, dass es für ALLE einen solchen vierten Kreis mit den vier Berührstellen gibt, sondern "nur", dass EIN solches mit dieser Eigenschaft existiert. Auch das wird wohl nicht für alle Konstellationen (Lage der Punkte sowie Werte ) klappen, erscheint aber zumindest plausibler: Den vier Berührbedingungen stehen nun auch vier Freiheitsgrade (zwei Mittelpunktkoordinaten sowie ein Radius für den unbekannten Kreis, sowie ) gegenüber. |
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