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Spezielle Konstruktion einer Reihe aus einer Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, reih

Chaostheorie13 aktiv_icon

08:18 Uhr, 29.04.2024

Hallo,

ich bin auf folgende Konstruktion einer Reihe gestoßen und kann trotz ausführlicher Recherche nirgendwo etwas dazu finden:
Es sei

(a_{n})_{n \in ℕ}

eine Folge reeller Zahlen mit Grenzwert

a = lim_{n \to \infty} a_{n}

. Definiere die Folge

T_{n} := \frac{1}{\log (n)} \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{k} .

In der Situation, an der ich interessiert bin, soll dann

lim_{n \to} T_{n} = a

gelten, also der Grenzwert der ursprünglichen Folge ist auch der Grenzwert der so konstruierten Reihe. In dieser Situation sind noch folgende Eigenschaften erfüllt, von denen ich nicht weiß welche davon für die Richtigkeit der Aussage notwendig sind:

- Die Folgenglieder der Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

liegen alle in

[0, 1]

.
- Die Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

ist monoton fallend.

Ich frage mich zum einen wieso die Aussage gilt und zum anderen, ob diese Konstruktion etwas sehr spezielles ist oder oftmals verwendet wird (und unter Mathematikern bekannt ist).

Vielen Dank für jegliche Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

12:50 Uhr, 29.04.2024

Es gibt da den Cauchyschen Grenzwertsatz bzw. als dessen Verallgemeinerung den Satz von Stolz-Cesàro:

de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Stolz

Ist

(v_{n})

streng monoton wachsend mit

lim_{n \to \infty} v_{n} = \infty

und existiert der Grenzwert

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1} - u_{n}}{v_{n + 1} - v_{n}} = : a

, so gilt auch

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = a

.

Das wenden wir hier an auf

u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{k}

sowie

v_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}

, denn dann gilt

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a_{n + 1}}{n + 1}

und

v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1}{n + 1}

und demzufolge

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1} - u_{n}}{v_{n + 1} - v_{n}} = lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = a

,

somit besagt dieser Satz

a = lim_{n \to \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{v_{n}} \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{k} = lim_{n \to \infty} \frac{\log (n)}{v_{n}} \cdot T_{n}

.

Wenn du nun noch

lim_{n \to \infty} \frac{\log (n)}{v_{n}} = 1

nachweisen kannst, bist du fertig - und das sollte kein größeres Problem sein.

P.S.: Außer der vorausgesetzten Konvergenz gegen

a

muss die Folge

(a_{k})

keine weiteren Bedingungen erfüllen.
Den verwendeten Satz von Stolz-Cesàro kann man in gewisser Weise als diskretes Analogon der Regel von L'Hospital ansehen - nur eben dass man statt Ableitungen dann Differenzen sukzessiver Folgenglieder betrachtet.

Chaostheorie13 aktiv_icon

17:51 Uhr, 30.04.2024

Vielen Dank für die ausführliche Antwort

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