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Spiegelmatrix

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Tags: Hyperbene

 
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anonymous

anonymous

11:27 Uhr, 19.01.2022

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Hallo,
ich habe zum zweiten Bild eine Frage.
Dort multipliziert man einen Vektor w mit eienr Spiegelmatrix, wobei w ein Element der Spiegelebene sein soll.

Warum kommt bei dieser Vektor-Matrix-Multiplikation w raus? Wenn man alles kürzt, bleibt doch eigentlich w-2w über?

Warum hat man mit diesen beiden Matrizen-Vektormultiplikationen überhaupt gezeigt, dass Q eine Spiegelmatrix an der Ebene ist?

Leider kenne ich mich mit Hyperebenen oder Spiegelmatrizen so gut wie gar nicht aus…

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DrBoogie

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11:45 Uhr, 19.01.2022

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Vektoren sind keine Zahlen, du kannst sie nicht kürzen.
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HAL9000

HAL9000

11:45 Uhr, 19.01.2022

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Wenn deine händischen "Durchstreichungen" dort irgendwelche Kürzungen bedeuten sollen, dann ist das Unsinn: Das sind keine Produkte reeller Zahlen dort, sondern Skalarprodukte - da kannst du nicht einfach rauskürzen. :(

Die tatsächliche Begründung ist vtw=(wtv)t=0t=0 für w aus der Spiegelebene.

anonymous

anonymous

11:53 Uhr, 19.01.2022

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Ah ja klar, ok… vielleicht war ich mit meinen Gedanken noch nicht so da.. natürlich darf man VEktoren nicht einfach kürzen…

Genau ich hatte mir schon gedacht, dass der rechte Ausdruck irgendwie 0 ergeben muss.

Dann weiß ich jetzt Bescheid, danke!

Allerdings überfordert mich dsa Thema Spiegelmatrix und Hyperebene etwas, da ich kaum Vorwissen dazu habe.
Warum hat man jetzt damit gezeigt, dass Q Spiegelmatrix an der Ebene ist?

Klar ist, dass die Spiegelmatrix natürlich w gar nicht spiegelt, da dieser ja in der Hyperebene liegt.

Das Q(v) symmetrisch ist, wird durch Q(v)v=-v deutlich, oder?


Vielen Dank im Voraus!
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HAL9000

HAL9000

12:04 Uhr, 19.01.2022

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> Warum hat man jetzt damit gezeigt, dass Q Spiegelmatrix an der Ebene ist?

Betrachten wir einen beliebigen Vektor u deines Raumes. In einem ersten Schritt fällen wir das Lot auf die Spiegelebene, der Lotfußpunkt sei w, d.h. dieses w liegt in der Spiegelebene, und wir wissen außerdem u-w=λv mit irgendeiner reellen Zahl λ.

Was erwartet man nun von einer Spiegelung dieses u=w+λv an der Spiegelebene? Nun, den Vektor u=w-λv, und genau das kommt bei Operation Q(v)u nun heraus.

anonymous

anonymous

15:58 Uhr, 19.01.2022

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Hallo Hall9000,
ich habe mal eine Skizze gemacht, was ich mir vorstelle.

Warum genau gilt u-w= lamda v

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HAL9000

HAL9000

16:35 Uhr, 19.01.2022

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Weil die Lotgerade senkrecht auf der Ebene steht (sonst wäre es kein Lot), und damit PARALLEL zum Ebenen-Normalenvektor v !!!
anonymous

anonymous

16:51 Uhr, 19.01.2022

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Der Normalenvektor könnte aber doch auch genau die Lotgerade darstellen bzw. auf dieser liegen.

Wenn wir u-w rechnen, was passiert hier? w ist der Lotfußpunk richtig?
u ein Ortsvektor. Wenn ich w ebenfalls als Ortsvektor auffasse und dann u-v rechne, dann erhalte ich doch den Richtungsvektor wu oder??? Also gerade den Normalenvektor skaliert???
anonymous

anonymous

16:52 Uhr, 19.01.2022

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Und sorry, mir war bis vorhin noch nicht so richtig klar, dass v ja der Normalenvektor sei. muss. Das ergibt sich ja aus "sei w Element der Spiegelebene, dann ist wtv= 0".




Q(v) ist symmetrisch, woran erkenne ich das nun??


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HAL9000

HAL9000

16:53 Uhr, 19.01.2022

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Davon rede ich doch die ganze Zeit. Warum du diese geometrischen Banalitäten mit Kaskaden von Fragezeichen versiehst, bleibt mir allerdings ein Rätsel.

EDIT: Bezieht sich auf den Beitrag von 16:51. Leider schreibst du in schnellerer Folge als du denkst.
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HAL9000

HAL9000

17:01 Uhr, 19.01.2022

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Zur Symmetrie: Zur Vereinfachung kürze ich ab κ:=2vtv, das ist eine reelle Zahl, mit ihr kann man schreiben Q(v)=I-κvvt. Jetzt transponieren wir diese Matrix (und denken dabei an die Regel (ab)t=btat)

(Q(v))t=(I-κvvt)t=It-κ(vvt)t=I-κ(vt)tvt=I-κvvt=Q(v),

also Symmetrie. War das so schwer, dass du es nicht hättest selbst versuchen können?

Frage beantwortet
anonymous

anonymous

18:47 Uhr, 19.01.2022

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@HAL9000, vielen Dank für deine Antworten.

Tatsächlich war der letzte Beweis nun wirklich sehr einfach. Ich dachte nur, dass sich die Symmetrie irgendwie schon aus den Zeilen vorher ergeben würde und hatte mich darauf fixiert.


Liebe Grüße und schönen Abend!