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Spiegelung Punkt an Geraden

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Analytische Geometrie

Salvador aktiv_icon

17:43 Uhr, 18.03.2019

Ein Punkt A (2/1) soll an der Geraden PQ mit P(3/-2) und Q(0/-1) gespiegelt werden.

Wie kann man den gespiegelten Punkt A' mathematisch berechnen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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17:51 Uhr, 18.03.2019

Stelle die Geradengleichung auf und die Gleichung der Senkrechten durch A.

A'

hat denselben Abstand zur Senkrechten wie A.

Atlantik aktiv_icon

17:51 Uhr, 18.03.2019

Mit Hilfe der Zeichnung kannst du den Rechenweg finden.

mfG

Atlantik

Salvador aktiv_icon

17:56 Uhr, 18.03.2019

mmh ok
Gibt es noch einen anderen Weg den Punkt zu berechnen, wie z.B mithilfe von Vektoren ?
Zudem kenne ich ja garnicht den Lotpunkt...

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18:04 Uhr, 18.03.2019

Der Lotpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden und der Senkrechten.

rundblick aktiv_icon

18:14 Uhr, 18.03.2019

.
Ein Punkt

A (2 / 1)

soll an der Geraden PQ mit

P (3 / - 2)

und

Q (0 / - 1)

gespiegelt werden.

"Gibt es noch einen anderen Weg den Punkt zu berechnen, wie

z . B

mithilfe von Vektoren ?"

\to

wie bekommst du zB. einen Normalenvektor

\vec{n}

zur Geraden PQ ?

\to

kannst du jetzt eine Gleichung für die durch A gehende Lotgerade

g

zu PQ notieren ?

\to

der Schnittpunkt von

g

mit PQ ist der Lotfusspunkt

F

\to

für den gesuchten Spiegelpunkt

B

gilt dann die Vektorgleichung (mit Ursprung

O (0; 0)) :

\to \vec{O B} = \vec{O A} + 2 \cdot \vec{A F}

ok?
.

Salvador aktiv_icon

19:03 Uhr, 18.03.2019

Und wie berechne ich die Koordinaten des Lotfusspunktes F ? bzw. Die Entfernung von A zu F ?

Atlantik aktiv_icon

19:06 Uhr, 19.03.2019

Berechnung des Lotfußpunktes:

Gleichung der Geraden zwischen

P (3 | - 2)

und

Q (0 | - 1)

\frac{- 1 - (- 2)}{0 - 3} = \frac{y - (- 2)}{x - 3}

\frac{y + 2}{x - 3} = - \frac{1}{3}

y = - \frac{1}{3} x - 1

Steigung der Senkrechten durch

y = - \frac{1}{3} x - 1 :

m = 3

\frac{y - 1}{x - 2} = 3

y = 3 x - 5

- \frac{1}{3} x - 1 = 3 x - 5

x_{L} = \frac{6}{5} \to y_{L} = 3 \cdot \frac{6}{5} - 5 = - \frac{7}{5}

L (\frac{6}{5} | - \frac{7}{5})

Nun Entfernung LA bestimmen:

r = . .

.

Dann Kreis um

L

mit

r = . .

.

Kreis schneidet Gerade

A L

in Spiegelpunkt A´.

mfG
Atlantik

Salvador aktiv_icon

20:00 Uhr, 19.03.2019

Ok danke

Und wie bestimme ich nun die Entfernung von A zu dem Lotfusspunkt F?

Respon

22:13 Uhr, 19.03.2019

Die Entfernung brauchst du nicht. Der Lotfusspunkt wurde ja schon berechnet. Den Ortsvektor des gesuchten Spiegelpunktes

A^{'}

bekommst du über eine Vektoraddition ( siehe rundblick ).

L (\frac{6}{5} | - \frac{7}{5})

\vec{O A^{'}} = \vec{O A} + 2 \cdot \vec{A L} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} - \frac{4}{5} \\ - \frac{12}{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,4 \\ - 3,8 \end{matrix})

Atlantik aktiv_icon

11:50 Uhr, 24.03.2019

Alternative rechnerische Bestimmung des Lotfußpunktes:

Gerade durch

P Q : y = - \frac{1}{3} x - 1

Kreisgleichungen um

A (2 | 1) :

{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2}

{(x - 2)}^{2} + {(- \frac{1}{3} x - 1 - 1)}^{2} = r^{2}

{(x - 2)}^{2} + {(- \frac{1}{3} x - 2)}^{2} = r^{2}

x^{2} - 4 x + 4 + \frac{1}{9} x^{2} + \frac{4}{3} x + 4 = r^{2}

\frac{10}{9} x^{2} - \frac{8}{3} x = r^{2} - 8 | \cdot \frac{9}{10}

x^{2} - \frac{12}{5} x = \frac{9}{10} r^{2} - \frac{36}{5} | + q . E . {(\frac{- \frac{12}{5}}{2})}^{2} = \frac{36}{25}

x^{2} - \frac{12}{5} x + \frac{36}{25} = \frac{9}{10} r^{2} - \frac{36}{5} + \frac{36}{25}

{(x - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{9}{10} r^{2} - \frac{144}{25}

x_{1,2} = \frac{6}{5} \pm \sqrt{\frac{9}{10} r^{2} - \frac{144}{25}}

Diskriminante

= 0

Du kannst nun den Kreisradius=Abstand von A zur Geraden.

Berührpunkt(Lotfußpunkt) ist

B (\frac{6}{5} | - \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} - 1)

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

Bummerang

13:17 Uhr, 24.03.2019

Hallo,

es geht auch so

. .

. :

Der Punkt A liegt auf einem Kreis um den Punkt

P

mit dem Radius

\sqrt{{(3 - 2)}^{2} + {(- 2 - 1)}^{2}} = \sqrt{10}

. Er liegt auch auf einem Kreis um

Q

mit dem Radius

\sqrt{{(0 - 2)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2}} = \sqrt{8}

. Der Punkt A ist einer der beiden Schnittpunkte dieser beiden Kreise. Der andere Schnittpunkt ist

A',

das Spiegelbild von A an der Geraden durch

P

und

Q!

Also lösen wir das Gleichungssystem:

{(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 10

{(x - 0)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8

Das ergibt:

x^{2} - 6 \cdot x + 9 + y^{2} + 4 \cdot y + 4 = 10

x^{2} + y^{2} + 2 \cdot y + 1 = 8

Also:

x^{2} + y^{2} - 6 \cdot x + 4 \cdot y + 3 = 0

x^{2} + y^{2} + 2 \cdot y - 7 = 0

Wenn ich jetzt die zweite von der ersten Gleichung abziehe, machen sich die Quadrate vom Acker und es bleibt:

- 6 \cdot x + 2 \cdot y + 10 = 0

x = \frac{1}{3} \cdot y + \frac{5}{3} \to x^{2} = \frac{1}{9} \cdot y^{2} + \frac{10}{9} \cdot y + \frac{25}{9}

Das setzen wir in die zweite Kreisgleichung ein und erhalten:

\frac{10}{9} \cdot y^{2} + \frac{28}{9} \cdot y - \frac{38}{9} = 0

y^{2} + 2,8 \cdot y - 3,8 = 0

Statt nun p-q-Formel oder Mitternachtsformel herzunehmen, nutzen wir das Wissen, dass A eine Lösung und damit

y = 1

eine Lösung ist und den Satz von Vieta und damit erhalten wir.

\frac{- 3,8}{1} = - 3,8 = y_{2}

x_{2} = \frac{1}{3} \cdot (- 3,8) + \frac{5}{3} = \frac{1,2}{3} = 0,4

Spiegelpunkt ist also

A' = (\begin{matrix} 0,4 \\ - 3,8 \end{matrix})

. .

. und ich werde das Gefühl nicht los, dass das der einfachere Weg ist.

rundblick aktiv_icon

15:59 Uhr, 24.03.2019

.
.
"... und ich werde das Gefühl nicht los, dass das der einfachere Weg ist."

\to

super

\to

ein mit Gefühl geworfener Bummerang ist alternativlos ..

\to

allerdings ist es längst Respon

(22 : 13

Uhr,

19.03.2019)

nüchtern gelungen,
meinen kurzen Tipp vom

18.03.2019

in nur

z w e i

Zeilen zielgenau umzusetzen..

\to

aber egal :

dem fragenden Salvador sind eh schon längst all die gutgemeinten
Hilfen völlig egal, da nutzen auch geworfene lose Gefühle wohl
nicht, den uninteressierten Typ auf den ein!facheren Weg zu bringen.

.

Salvador aktiv_icon

16:27 Uhr, 24.03.2019

Ich bedanke mich für die ganzen Antworten.
Dies war, wer hätte es gedacht, eine Schulaufgabe, die ich nur schnell lösen wollte.
Ich hätte sie ohne eure Hilfe nicht lösen können

Ich hab wohl vergessen die Frage schon als beantwortet einzutragen.

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