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Spiegelung an einer Ebene, [S]Abbildungsmatrix

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen, spiegelmatrix

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20:10 Uhr, 27.01.2012

φ_{1} :

Spiegelung an der Ebene

E := {x \in ℝ^{3} : x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 0}

Bestimmen Sie eine geeignete Basis:

ich habe mir dazu den Normalenvektor aus der Ebenegleichung bestimmt:

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})

Sowie durch scharfes hinsehen, zwei Vektoren aus der Ebene:

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

(\begin{array}{rcl} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})

Diese Vektoren bilden meine Basis:

Um die Abbildungsmatrix zu bestimmen, bestimme ich noch die Bilder der Basisvektoren:

φ_{1} ((\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

φ_{1} ((\begin{array}{rcl} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})

φ_{1} ((\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})) = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})

wenn ich diese in der oben bestimmten Basis darstelle erhalte ich:

A = (\begin{array}{rcl} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

Ist das korrekt? Multipliziere ich die Basisvektoren mit der Abbildungsmatrix erhalte ich leider nicht die oben angegegben Bilder. Liegt das an der Darstellung bezüglich der neuen Basis?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

18:58 Uhr, 28.01.2012

Ja, es liegt an der Verwendung der neuen Basis. Der erste Basisvektor (also der Normalvekotr mit der Ebene), wird von der entsprechenden Transformationsmatrix auf den ersten Einheitsvektor abgebildet usw. Möchtest du die Darstellende Matrix bzgl. der Einheitsbasis machen, musst du die Transformation rückgängig machen.

barracuda317 aktiv_icon

11:49 Uhr, 29.01.2012

Danke, das leuchtet ein. :-)

Es gibt dann noch eine zweite Teilaufgabe an der ich noch etwas verzweifel.

Sei

M_{B_{1}}^{B_{1}} (φ_{1})

die oben genannte Abbildung (Spiegelung an der Ebene).

Nun sollte ich eine zweite Abbildung

φ_{2}

: Streckung um den Faktor 2 angeben.

Sei

M_{B_{2}}^{B_{2}} (φ_{2}) = (\begin{array}{rcl} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

. Wobei

B_{2}

die Standardbasis des R^3 ist.

Gesucht ist nun die Abbildungsmatrix von

φ_{2} \cdot φ_{1}

bezüglich der Standardbasis.

Also ist folgendes gesucht?

M_{B_{2}}^{B_{2}} (φ_{2} \cdot φ_{1})

Meine erste Idee war nun

M_{B_{1}}^{B_{1}} (φ_{1})

M_{B_{2}}^{B_{2}} (φ_{1})

"umzuformen" und dann einfach die Abbildungsmatrizen miteinander zu multiplizieren. WIe gehe ich aber beim Umformen vor?

Ist das zielführend?

prodomo aktiv_icon

12:23 Uhr, 29.01.2012

Deine Ebenengleichung ist keine. Es fehlt "=0" oder ähnlich am Schluss. Wenn du eine Matrix gefunden hast, prüfe, ob ihre Det

- 1

ist.

barracuda317 aktiv_icon

16:53 Uhr, 29.01.2012

Du hast Recht. =0 habe ich leider vergessen. Die Matrix sollte trotzdem passen. Bei welcher Determinante soll ich -1 raus bekommen?

barracuda317 aktiv_icon

19:57 Uhr, 29.01.2012

Ich habe gerade mal folgende Matrix erstellt und dabei einfach die Basisvektoren in der Darstellung bezüglich

B_{1}

mit einem LGS berechnet.

Ist das korrekt?

M_{B_{1}}^{B_{2}} (i d) = (\begin{array}{rcl} - 1 / 2 & 1 & 1 / 2 \\ 1 & - 1 & - 1 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \end{array})

Aufgrund der Standardbasis

B_{2}

müsste die zweite Matrix folgendermaßen aussehen:

M_{B_{2}}^{B_{1}} (i d) = (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{array})

Multipliziert wäre das dann:

M_{B_{2}}^{B_{2}} (φ_{1}) = (\begin{array}{rcl} - 1 / 2 & 1 & 1 / 2 \\ 1 & - 1 & - 1 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \end{array}) * (\begin{array}{rcl} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) * (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 2 & 1 & 2 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array})

Wäre supi, wenn da mal jemand drüber gucken könnte. Habe es erstmal rein nach Intuiton berechnet

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