Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Spiegelungen und Drehungen

Spiegelungen und Drehungen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Drehung, Matrizenrechnun, spiegeln

mrangelm aktiv_icon

16:01 Uhr, 12.11.2016

Hallo zusammen,
ich habe folgendes Problem:

Bestimmen Sie alle Spiegelungen und Drehungen, die ein gleichseitiges Dreieck
ABC in sich selbst uberführen. Beschreiben Sie die Spiegelungen und
Drehungen anhand von Permutationen der Ecken

{A, B, C}

.

ich fange mit der Permutation an:

[

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA] bzw

3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6

oder ich nehme

A = 1, B = 2, C = 3

an:

π 0 = [123; 123]

π 1 = [123; 231]

π 2 = [123; 312]

π 3 = [123; 132]

π 4 = [123; 213]

π 5 = [123; 321]

aber wie kann ich die Spiegelungen und Drehungen in diesem Fall berechnen?

Danke im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Werner-Salomon aktiv_icon

17:15 Uhr, 12.11.2016

Hallo,

über Deiner Anfrage steht 'Matrizenrechnung'. Ich unterstelle daher, Du sollst die Matrizen bestimmen, die das Dreieck in eine der 6 Permutationen überführen.
Dazu würde ich zunächst das Dreieck selbst in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem beschreiben. Idealerweise legt man den Schwerpunkt des Dreiecks dafür in den Ursprung.
Die Länge einer Seite sei

s

; dann gilt z.B. für die Eckpunkte ABC

A = s \cdot (\begin{array}{rcl} \frac{- 1}{2} \\ \frac{- \sqrt{3}}{6} \end{array})

;

B = s \cdot (\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \\ \frac{- \sqrt{3}}{6} \end{array})

;

C = s \cdot (\begin{array}{rcl} 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array})

,

Die erste Transformation [ABC]->[ABC] ist trivial

π_{0} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

Die zweite Transformation [ABC]->[ACB] ist eine Spiegelung um eine Gerade durch den den Punkt A und den Ursprung (=Schwerpunkt).
Rein formal muss gelten:

π_{1} \cdot A = A

π_{1} \cdot B = C

und

π_{1} \cdot C = B

π_{1}

sei

π_{1} = (\begin{array}{rcl} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{array})

; ich beginne mit dem Punkt C, da eine seiner Koordinaten =0 ist

π_{1} \cdot C = B = (\begin{array}{rcl} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{array}) \cdot s \cdot (\begin{array}{rcl} 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}) = s \cdot (\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \\ \frac{- \sqrt{3}}{6} \end{array})

daraus folgt sofort, dass

b_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}

und

d_{1} = \frac{- 1}{2}

ist.

kommst Du alleine weiter?

Gruß
Werner

mrangelm aktiv_icon

12:32 Uhr, 13.11.2016

Hallo Werner,

danke für diene Antwort.
Ich sehe es ein bisschen anderes aus.. Siehe Anhang.

Die Spiegelungen sind mir klar, denke ich. Aber die Drehungen

(2

in diesem Fall(laut Permutation)), kommt mir nicht klar vor.

Was denkst du?
Wie kann ich es einfach stimmen, sodass ich Verknupfungstafel bauen kann?

Grüße,
mrangelm

Werner-Salomon aktiv_icon

19:46 Uhr, 13.11.2016

Hallo,

bei der Spiegelung - also der Transformation [ABC] zu [BAC] - komme ich zum selben Ergebnis wie Du. Dies ist eine einfache Spiegelung an der Y-Achse.
Der Unterschied zwischen unseren Modellen besteht darin, dass ich den Schwerpunkt des Dreiecks in den Ursprung gelegt habe, Du dagegen den Punkt A - so interpretiere ich Deine Zeichnungen.

Ich habe Dir oben eine Spiegelung an der Achse (A-Schwerpunkt) vorgestellt - das entspräche für mich der Transformation [ABC] zu [ACB].

Du schreibst: "

S_{x}

bildet

D

auf

D ʺ

ab" -

S_{x}

ist in diesem Fall doch eine einfache Punktspiegelung. Nur mit einer Punktspiegelung kannst Du kein Dreieck auf sich selbst abbilden. Eine Punktspiegelung in 2D entspricht immer einer Drehung um 180Grad.

Auch die letzte Transformation ist keine Abbildung auf sich selbst. Die Spiegelung an der X-Achse bildet ein Dreieck nur dann auf sich selbst ab, wenn es zur X-Achse symmetrisch wäre - das ist ABC aber nicht. Zumindest hast Du es nicht so gezeichnet.

Im Text der Aufgabe steht: ".. Spiegelungen und Drehungen, die ein gleichseitiges Dreieck ABC in sich selbst überführen" Was bedeutet hier 'in sich selbst'?

Gruß
Werner

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1335483

1335078

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?