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Spindel Volumen und Oberfläche

Universität / Fachhochschule

Tags: oberfläch, Rotationskörper, volum

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08:26 Uhr, 17.04.2026

Hallo :-)

ich suche Volumen und Oberfläche einer Form, die ich der Einfachheit halber Spindel nenne. Dies ist der Rotationskörper eines Kreissegments um seine Sehne. Wie eine vereinfachte Zitrone.

In folgenden eine Skizze. Die Sehne, um welche das Segment rotiert ist blau.

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

calc007

10:13 Uhr, 17.04.2026

Hallo
Ich würde von einem Torus sprechen.

Es gilt:

{(y + d)}^{2} + x^{2} = R^{2}

\to

y = \sqrt{R^{2} - x^{2}} - d

Volumen:

V = 2 \cdot π \cdot \int_{0}^{\sqrt{R^{2} - d^{2}}} y^{2} \cdot d x

Oberfläche:

A = 4 \cdot π \cdot \int_{0}^{\sqrt{R^{2} - d^{2}}} y \cdot \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} \cdot d x

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10:38 Uhr, 17.04.2026

Danke schon mal. Kann man diese Formeln in eine integralfreie Form bringen?

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10:39 Uhr, 17.04.2026

Es ist kein Torus.

calc007

10:45 Uhr, 17.04.2026

"Kann man diese Formeln in eine integralfreie Form bringen?"
Ja - durch Integration...

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11:14 Uhr, 17.04.2026

"Ja - durch Integration..."
Das ist leider genau das, was meine mathematischen Fähigkeiten übersteigt.

calc007

11:24 Uhr, 17.04.2026

Hmmm, was sind dann deine Beiträge hierzu in
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

??

Na ja, vielleicht findet sich ja noch jemand - oder ich, wenn ich viel, viel Zeit finde...

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16:36 Uhr, 17.04.2026

Ich kann es nicht. Ob die KI es kann weiß ich nicht, aber sie behauptet es zumindest und bringt das heraus:

V = (2pi/3) · h² · (3R - h)

A = 4·pi·R · ( √(2Rh - h²) - (R - h) · arccos((R - h)/R) )

h ist die Höhe des Kreissegments, also h=R-d

Kann das stimmen?

calc007

18:38 Uhr, 17.04.2026

Das Volumen ist ja noch verhältnismäßig beherrschbar.
Falls ich mich nicht verschüsselt habe, dann (mein Arbeitswert_1):

V = \frac{π}{3} \cdot [(4 \cdot R^{2} + 2 \cdot d^{2}) \cdot \sqrt{R^{2} - d^{2}} -

6*d*R^2*arccos(d/R)

]

Das habe ich mittlerweile auch numerisch nachvollzogen

+

kontrolliert.
Aus der numerischen Kontrolle wage ich auch gute Hoffnung...

Hmmm, und mit deiner KI-Formel mag man eine gewisse Ähnlichkeit erschielen. Von 'Gleichheit' im mathematischen Sinne würde ich aber nicht reden.
...wiederum in der Hoffnung, auf die Schnelle nichts verschüsselt zu haben.

calc007

21:53 Uhr, 17.04.2026

So, jetzt mit ein wenig Muse (im onlinemathe ist aber auch wirklich nicht mehr viel los):
Auch die Oberfläche ist nicht wirklich schwerer.

In meinen Größen

(d)

ausgedrückt:

A = 4 \cdot π \cdot R \cdot [\sqrt{R^{2} - d^{2}} -

d*arccos(d/R)

]

Und hier lässt sich zeigen, dass das übertragen auf deine Größen

h

genau der Formel entspricht, die du auch aus KI genannt hattest.

jurii aktiv_icon

07:18 Uhr, 18.04.2026

Das sieht sehr gut aus, vielen Dank!

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