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Spinnennetz Folgen

Schüler

Tags: Folgen, Reihen

student91 aktiv_icon

16:52 Uhr, 14.07.2012

Hallo, ich bin wirklich daran interessiert, wie man folgende Aufgabe löst:

Eine (stark idealisierte) Spinne ist, wie skizziert, nach aufspannen
der Kreuzfäden dabei, ihr Netz so zu bauen, dass sie einen Netzfaden
in den Abständen $a 0$ und $a 1$ vom Mittelpunkt befestigt, und
dann weitere jeweils rechtwinklig zu den vorigen. Wenn überhaupt,
bei welcher Wahl von $a 1$
$a 0$ reicht ihr Netzfadenvorrat der
Gesamtlänge $23 a 0$ aus, um das Netz zu vervollständigen?

Habe schon darüber nachgedacht, aber meine Ansätze waren nicht besonders erfolgreich.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DK2ZA aktiv_icon

09:34 Uhr, 15.07.2012

Das erste gerade Stück ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, das es zusammen mit der positiven x-Achse und der positiven y-Achse bildet. Seine Länge ist nach Pythagoras

$l_{1} = \sqrt{a_{0}^{2} + a_{1}^{2}}$ .

Das zweite gerade Stück bildet mit der positiven y-Achse (Abschnitt $a_{1})$ und der negativen x-Achse (Abschnitt $a_{2})$ ein rechtwinkliges Dreieck, das zum ersten ähnlich ist (gleiche Winkel). Folglich gilt

$\frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{a_{1}}{a_{0}}$

$a_{2} = \frac{a_{1}^{2}}{a_{0}}$

Die Länge des zweiten geraden Stückes ist damit

$l_{2} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} =$

$= \sqrt{a_{1}^{2} + \frac{a_{1}^{4}}{a_{0}^{2}}} =$

$= \sqrt{\frac{a_{0}^{2} \cdot a_{1}^{2}}{a_{0}^{2}} + \frac{a_{1}^{4}}{a_{0}^{2}}} =$

$= \frac{a_{1}}{a_{0}} \cdot \sqrt{a_{0}^{2} + a_{1}^{2}} =$

$= \frac{a_{1}}{a_{0}} \cdot l_{1}$

Analog gilt

$l_{3} = \frac{a_{1}}{a_{0}} \cdot l_{2} = \frac{a_{1}}{a_{0}} \cdot \frac{a_{1}}{a_{0}} \cdot l_{1} = {(\frac{a_{1}}{a_{0}})}^{2} \cdot l_{1}$

$l_{4} = {(\frac{a_{1}}{a_{0}})}^{3} \cdot l_{1}$

Die Summe aller geraden Stücke ergibt die Fadenlänge

$L = l_{1} \cdot (1 + \frac{a_{1}}{a_{0}} + {(\frac{a_{1}}{a_{0}})}^{2} + {(\frac{a_{1}}{a_{0}})}^{3} + {(\frac{a_{1}}{a_{0}})}^{4} + \dots)$

Die Klammer enthält eine geometrische Reihe, zu deren Berechnung es eine einfache Formel gibt.

GRUSS, DK2ZA

student91 aktiv_icon

12:06 Uhr, 15.07.2012

Aber ich erhalte so doch eine Gleichung mit 2 Unbekannten oder nicht ?

Edddi aktiv_icon

13:07 Uhr, 15.07.2012

$. .$ . $a_{0}$ und $a_{1}$ sind ja 2 frei von der Spinne wählbare Parameter. Es kommt ja bei der Fragestellung auf das Verhältnis beider zueinander an:

$V = \frac{a_{1}}{a_{0}}$

da $a_{1} < a_{0}$ ist $V < 1$

Du kannst also DK2ZA's Ausdruck so darstellen:

$L = l_{1} \cdot (1 + V + V^{2} + V^{3} + ...)$

mit $l_{1} = \sqrt{a_{0}^{2} + a_{1}^{2}} = \sqrt{a_{0}^{2} \cdot (1 + {(\frac{a_{1}}{a_{0}})}^{2})} = a_{0} \cdot \sqrt{1 + V^{2}}$

$L = a_{0} \cdot \sqrt{1 + V^{2}} \cdot (V^{0} + V^{1} + V^{2} + V^{3} + ...)$

da $L = 23 \cdot a_{0}$ sein soll:

$23 \cdot a_{0} = a_{0} \cdot \sqrt{1 + V^{2}} \cdot (V^{0} + V^{1} + V^{2} + V^{3} + ...)$

$23 = \sqrt{1 + V^{2}} \cdot (V^{0} + V^{1} + V^{2} + V^{3} + ...)$

da $(V^{0} + V^{1} + V^{2} + V^{3} + ...)$ mit $| V | < 1$ so berechnet wird:

$\sum_{k = 0}^{\infty} V^{k} = \frac{1}{1 - V}$

erhälst du also:

$23 = \sqrt{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{1 - V}$

...damit solltest du also das Verhältnis $V$ bestimmen können.

;-)

student91 aktiv_icon

13:53 Uhr, 15.07.2012

dann kommt als Lösung $~ 1$ heraus.

DK2ZA aktiv_icon

14:32 Uhr, 15.07.2012

Die Lösung ist

$\frac{529 - \sqrt{1057}}{528} \approx 0,94031906$

GRUSS, DK2ZA

DK2ZA aktiv_icon

19:39 Uhr, 15.07.2012

$23 = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 - V}$

Beide Seiten der Gleichung quadrieren:

$529 = \frac{1 + V^{2}}{{(1 - V)}^{2}}$

$529 \cdot {(1 - V)}^{2} = 1 + V^{2}$

$529 \cdot (1 - 2 \cdot V + V^{2}) = 1 + V^{2}$

$529 - 1058 \cdot V + 529 \cdot V^{2} = 1 + V^{2}$

$528 \cdot V^{2} - 1058 \cdot V + 528 = 0$

$V_{1} = \frac{529 - \sqrt{1057}}{528}$

$V_{2} = \frac{529 + \sqrt{1057}}{528}$

Nur $V_{1}$ ist sinnvoll

GRUSS, DK2ZA

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