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Spiralkurve im gleichseitigen Dreieck

Universität / Fachhochschule

Tags: drei Ecken, Drei Indianer

 
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Bersch

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12:43 Uhr, 21.03.2020

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Das gleichseitige Dreieck hat die drei Ecken A,B,C.
In jeder Ecke sitzt ein Indianer. Diese bezeichne ich 'A','B','C'.
'A' sieht nur 'B','B' sieht nur 'C' und 'C' sieht nur 'A'.
Alle drei krabbeln gleichzeitig los, jeder immer in die Richtung, in der sich momentan der befindet, den er sieht.
Natürlich krabbeln alle drei mit derselben konstanten Geschwindigkeit.
Irgendwann erschlagen sich alle drei gleichzeitig im Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks.
Aber wie sieht die Kurve aus, die jeder von ihnen gekrabbelt ist?
Wie ist die Funktionsgleichung?
Wie lang ist der Weg, den jeder zurückgelegt hat?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Bummerang

Bummerang

13:02 Uhr, 21.03.2020

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Hallo,

beschäftige Dich mal damit: de.m.wikipedia.org/wiki/Logarithmische_Spirale
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maxsymca

maxsymca

21:14 Uhr, 21.03.2020

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Und die Grafik dazu in GeoGebra.
Hast Du das so gesehen?


Window_2020-03-21_21-05-28
Frage beantwortet
Bersch

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16:58 Uhr, 22.03.2020

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Ich habe in Wikipedia nachgesehen und angenommen, dass die Kurve eine logarithmische Spirale ist mit r(φ)=aekφ. Habe auch x- und y-Koordinaten berechnet und den Graph gezeichnet. Er sieht so aus wie ein Ast deiner Grafik. Die Länge eines Astes ist 1+k2rk. Mit k=3 und r=s33, wobei s die Seitenlänge des Dreiecks ist, ergibt sich für die Länge eines Astes s23.
Ich glaube nun, dass die Kurve eine logarithmische Spirale ist.
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maxsymca

maxsymca

19:54 Uhr, 22.03.2020

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Jep,

für k erhalte ich das gleiche...
Bei a bin ich mir nicht sicher, ich komm auf -1/80 für den nach oben gehenden Ast.
Wie hast Du a bestimmt?
Frage beantwortet
Bersch

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01:37 Uhr, 23.03.2020

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Ich meine, dass a ein Faktor ist, der eine ganz konkrete logarithmische Spirale spezifiziert. Die x-Koordinate eines Kurvenpunktes ist ae3φcos(φ). Der Mittelpunkt des Dreiecks (Pol) ist (0;0) des x-y-Koordinatensystems. Linksdrehend hat dann der Strahl vom Pol zur linken unteren Ecke den Winkel φ= 210° =3,665191429 rad.
e3φ ist dann 571,5190265 und cos(φ)=-0,866025403.
Ich wähle ein Dreieck mit der Seitenlänge s=15 cm. Dann ist die x-Koordinate des linken unteren Eckpunktes -7,5 cm. Jetzt habe ich alles zusammen und kann a bestimmen zu 0,015153045 cm. Der Ast von der linken unteren Ecke zum Pol ist unter diesen Annahmen nach oben gewölbt.
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maxsymca

maxsymca

14:32 Uhr, 23.03.2020

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Ach ja,

danke - ich hab den Ursprung der Spirale ja nicht im KO-Ursprung und muss deshalb den Versatz mit einbeziehen.

etzatla...