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Spline-Interpolation

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Drumbene91

Drumbene91 aktiv_icon

14:00 Uhr, 30.09.2020

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Hallo allerseits, ich beschäftige mich gerade mit der Spline - Interpolation, und mir ist eine Sache bezüglich der Motivation des ganzen Verfahrens nicht ganz klar. Und zwar fordern wir ja für die gesuchte Funktion s, die eingeschränkt auf die Teilintervalle
[xi-1,xi] von [a,b]
jeweils ein kubisches Polynom bilden soll, dass

∫abs´´(x)2dx≤∫ab(s´´(x)+ε*h(x))2dx

wobei ε∈ℝ
und
h:[a,b]→ℝzweimal stetig diffbar mit
h(xi)=0∀i=0,...,n
aber mir ist nicht ganz klar, wie man das anschaulich begründet. Wir fordern ja, dass
∫abs´´(x)dx
minimal wird, um die Krümmung der Funktion s zu minimieren, um eben die Oszillationen zu vermeiden, die bei der Newton-Interpolation aufgetreten sind, soweit bin ich richtig, oder ? Mir ist allerdings nicht klar, warum ich dann trotzdem die obige Ungleichung brauche.
Vielleicht hat jemand einen Tipp,
LG


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

12:10 Uhr, 01.10.2020

Antworten
FORMELEDITOR GEHT NICHT WIE GEWOHNT??

Hallo,

wenn etwas "minimal" machen will, muss man sagen, womit man das vergleicht.

In diesem Fall wird die Krümmung der interpolierenden Spline-Funktion verglichen mit den Krümmungen aller anderen interpolierender Funktionen. Wenn also s die interpolierende Spline-Funktion ist, dann ist s+ε⋅h ebenfalls eine interpolierende Funktion, wenn eben h(xi)=0 ist für alle Stützpunkte.

Als (vereinfachtes) Krümmungsmaß nimmt man:

∫ab(s''(x)2dx≤∫ab(s''(x)+ε⋅h''(x))2dx

(hier denke ich hast Du einen Druckfehler)

Gruss pwm
Frage beantwortet
Drumbene91

Drumbene91 aktiv_icon

13:08 Uhr, 02.10.2020

Antworten
Hallo, ja das ist natürlich ein Druckfehler! Vielen Dank für deine Antwort, das heißt ich fordere insgesamt von der Funktion s eine minimale Krümmung und zusätzlich möchte ich sie noch mit allen anderen interpolierenden Funktionen. Hast du noch eine anschauliche Begründung, warum ich die Forderung zur Krümmung benötige? Geht es nur darum, die starken Oszillationen der Polynominterpolation (z.B. Newton) zu vermeiden?
LG
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:18 Uhr, 02.10.2020

Antworten
"FORMELEDITOR GEHT NICHT WIE GEWOHNT??"

Mit Chrome nicht mehr, mit Firefox geht noch.