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Spotzinssatz, Forwardrate

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik

anonymous

20:22 Uhr, 14.11.2018

Es gelten die folgenden Zinssätze bei diskreter Verzinsung: Die Forwardrate

1 f_{2}

liegt

(1

muss auch wie 2 unten stehen... 1 und 2 sind die Jahre) bei 5 Prozent, die Forwardrate

1 f_{3} (1

muss ebenfalls wie 3 unten stehen... 1 und 3 sind die Jahre) bei 6 Prozent und der Spotzinssatz

k_{3}

bei

6,5

Prozent. Welche der folgenden Aussagen ist/sind korrekt)

a)

Der Spotzinssatz für 1 Jahr beträgt

6,51

Prozent

b)

Der Spotzinssatz für 2 Jahre beträgt

6,25

Prozent

c)

Die Forwardrate

2 f_{3} (2

steht wieder unten...) beträgt

7,01

Prozent

b)

und

c)

müssten richtig sein.

Ich weiß nicht wie ich den Spotzinssatz für 1 Jahr und für 2 Jahre berechnen soll.
Ich habe schon einmal diese Rechnung samt Hilfe gerechnet, jedoch bin ich jetzt komplett verwirrt mit den Zahlen.

So hatte ich es zuerst (siehe Bild) gerechnet.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

20:34 Uhr, 14.11.2018

Ich kann hier die gewünschte Formel nicht schreiben. Deswegen kann ich's nur abfotografieren... tut mir leid.

Enano

02:12 Uhr, 15.11.2018

"1 und 2 sind die Jahre"

Ja, aber welche?

Z . B . : 1 f_{2}

Bedeutet das, dass die Forward Rate für 1 Jahr gilt und deren Laufzeit aber erst in 2 Jahren beginnt oder dass sie für ein Jahr gilt und deren Laufzeit in einem Jahr beginnt oder was sonst ?
Wann berücksichtigst du Zinseszinsen und wann nicht?
Stammen die ganzen Aufgaben aus verschiedenen Quellen und welche sind das?
Sind das Hausaufgaben, Klausuraufgaben oder Aufgaben, die du irgendwo gefunden hast und nur zum Zeitvertreib lösen möchtest?

"jedoch bin ich jetzt komplett verwirrt"

Nicht nur du, sondern auch ich, weil man bei ein und derselben Aufgabe in deinem 2.Bild mit unterschiedlichen Interpretationen der Forward Rate-Notation zu den vorgegebenen Ergebnissen kommt, mal mit und mal ohne Zinseszins.
Dann ist auf dem 1. Bild eine Formel, für diskrete Verzinsung angegeben, die aber nicht verwendet wurde, bis auf das Beispiel, dass von mir vorgerechnet wurde.
Stattdessen wird die Formel genommen, die unter stetiger Verzinsung steht, obwohl in der Aufgabenstellung "diskrete Verzinsung" steht.

anonymous

18:01 Uhr, 15.11.2018

Danke, Enano, dass du auch meiner Meinung bist. Ich dachte auch bei ein paar Aufgaben, dass ich die diskrete Verzinsung rechnen muss und dann doch die stetige. Gestern hab ich dem Professor geschrieben, dass das Ergebnis richtig wäre bei einer diskreten Verzinsung. Er meinte, dass wir hier die stetige hätten rechnen sollen, obwohl in der Angabe diskrete Verzinsung stand.

Die Durchfallquote für Investition und Finanzierung liegt bei über

80

Prozent. Wenigstens weiß ich jetzt warum... xD

Ein paar Aufgaben wie diese hier verstehe ich auch nicht. Denn die Laufzeit liegt ja zwischen

1 f 2,

oder

2 f 3 . .

.
Die Aufgaben stammen aus den Lehrenden der Universität. Sie sind auf Investition und Finanzierung spezialisiert. Und neben wurde das Lehrbuch auch von diesem Professor geschrieben.

Wie hast du's gerechnet? Ich hab's immer noch nicht raus bekommen.

anonymous

18:12 Uhr, 15.11.2018

Hier hatte ich es so gerechnet. .

Enano

04:06 Uhr, 16.11.2018

"Er meinte, dass wir hier die stetige hätten rechnen sollen, obwohl in der Angabe diskrete Verzinsung stand."

Was soll man von so einem Prof halten?
Das führt nämlich dazu, dass korrekte Aussagen als falsch bewertet werden, wie es in deinem zweiten Bild getan wurde.
Du kommst bei "stetiger Verzinsung" auf

10,86 %,

die Aussage ist aber

10,93 %

. Folglich stufst du sie als falsch ein.
Bei diskreter Verzinsung (mit Zinseszins) kommt aber folgendes heraus:

{1,083}^{9} = {1,051}^{4} \cdot {(1 + ._{4} f_{9})}^{5} \Rightarrow ._{4} f_{9} = \sqrt[5]{\frac{{1,083}^{9}}{{1,051}^{4}}} - 1 = 0,1093 = 10,93 %

Für mich wäre somit die Aussage korrekt.

Übrigens verstehe ich unter diskreter und stetiger Verzinsung etwas anderes.
Was ihr als stetige Verzinsung bezeichnet, ist für mich ebenfalls eine diskrete Verzinsung, aber ohne Berücksichtigung des Zinseszins.
Bei der stetigen Verzinsung strebt die Anzahl der Zinsperioden gegen unendlich.

"Hier hatte ich es so gerechnet."

Verlangt dein Prof diese Ausführlichkeit oder hast du das für mich gemacht, damit auch ich das kapiere?
Das ist doch viel zu viel Schreibarbeit, die einen bei Klausuren nur in Zeitnot geraten lässt.

Mein Prof müsste sich mit meiner folgenden Rechnung (ohne Erläuterungen) zufrieden geben:

Wie ich deiner Rechnung entnehme, bedeutet bei euch

._{3} f_{4}

eine 4-jährige Kapitalanlage mit einem Forward-Zinsatz, der in 3 Jahren für 1 Jahr läuft,

d . h

. die Anlage wird 3 Jahre mit dem Spot-Zinssatz verzinst und 1 Jahr mit dem Forward-Zinssatz.
Die Rechnung ist eigentlich ganz einfach, sofern klar ist, was die Notation bedeutet und mit welcher Verzinsung zu rechnen ist.
Weil auf einem arbitragefreien Markt gilt, dass der Spot-Zinssatz

-

in diesem Fall - für
4 Jahre gleich dem Spot-Zinssatz für 3 Jahre mal dem Forward-Zinssatz für 1 Jahr ist, führt das bei "stetiger Verzinsung" zu folgenden Gleichung:

4 k_{4} = 3 k_{3} + 1 \cdot ._{3} f_{4} \Rightarrow k_{3} = \frac{4 k_{4} - ._{3} f_{4}}{3} = \frac{4 \cdot 0,0293 - 0,0374}{3} = 0,0266

Analog dazu lautet die 2. Gleichung:

3 k_{3} = 1 k_{1} + 2 \cdot ._{1} f_{3} \Rightarrow ._{1} f_{3} = \frac{3 k_{3} - k_{1}}{2} = \frac{3 \cdot 0,0266 - 0,0254}{2} = 0,0272 = 2,72 %

anonymous

10:41 Uhr, 16.11.2018

Danke Enano...

Mein Prof will das einfach so haben. Ich weiß auch, dass die Zeit hier dann knapp ist, wenn ich die Klausur schreiben werde.

Meine Überlegungen sind auch auf deine Überlegungen gerichtet, aber... typisch Prof. eben...

Ich möchte einfach nur das Fach abhaken... Obwohl wir erst mit

60

Prozent positiv sind... xD

anonymous

16:36 Uhr, 17.11.2018

Hi enano,

Ich hab hier die gleichen rechenschritte wie auf meinem blatt gerechbet. Jedoch weiche ich um ein paar Prozentpunkte ab...

Für

k 2 :

hab ich die 2. Wurzel von

{(1,05)}^{2} \cdot {(1,065)}^{2}

gezogen. Bin aber auf

11,825

Prozent gekommen.

Muss ich hier vllcht anders rechnen?

Enano

18:11 Uhr, 17.11.2018

Hallo Irene,

"Muss ich hier vllcht anders rechnen?"

Ja, ganz gewiß.

Dass deine Rechnung nicht stimmen kann, ist schon auf den ersten Blick an den Exponenten erkennbar:
Du hast offensichtlich mit der Forward Rate

._{1} f_{2} = 0,05

gerechnet.
Nach eurer Definition bedeutet das,dass bei einer Gesamtlaufzeit der Kapitalanlage von 2 Jahren die Anlage für 1 Jahr mit der Forward Rate von

5 %

verzinst wird und 1 Jahr mit der Spot Rate

k_{1}

.
Weil beide Zinssätze nur jeweils für 1 Jahr gezahlt werden, kann der Exponent nicht jeweils 2 sein, sondern muss jeweils 1 sein. Wenn er aber 1 ist, kannst du ihn auch weg lassen.
Also müsstest du bei diskreter Verzinsung mit Zinseszins mit

{(1 + k_{1})}^{1} = 1 + k_{1}

und

{(1 + ._{1} f_{2})}^{1} =

1 + ._{1} f_{2}

rechnen. Bei den Spot Rates ist es besonders einfach zu erkennen, wenn etwas nicht stimmt, denn bei denen müssten Index und Exponent übereinstimmen.

Um

k_{2}

zu bestimmen, müsstest du erst einmal

k_{1}

wie folgt ausrechnen:

{(1 + k_{3})}^{3} = (1 + k_{1}) \cdot {(1 + ._{1} f_{3})}^{2} \Rightarrow k_{1} = \frac{{(1 + k_{3})}^{3}}{{(1 + ._{1} f_{3})}^{2}} - 1 = \frac{{1,065}^{3}}{{1,06}^{2}} - 1 = 0,07507 . .

= 7,507 ... %

Ein weiteres Indiz dafür, ob meine Ausgangsgleichung stimmen kann, sind die Exponenten links und rechts des Gleichheitszeichens: Der Exponent auf der linken Seite muss der Summe der Exponenten auf der rechten Seite entsprechen, hier also

3 = 1 + 2

D . h

. die Laufzeiten müssen gleich sein, denn Spot Rates für 3 Jahre müssen die gleiche Rendite bringen, wie ein Spot Rate für 1 Jahr plus eine Forward Rate für 2 Jahre.

Du kannst es aber noch einfacher haben und ohne Zinseszins rechnen, dann kommst du sogar ohne Rundung auf die angegebenen Werte, sofern sie denn richtig sind:

3 \cdot k_{3} = k_{1} + 2 \cdot ._{1} f_{3} \Rightarrow k_{1} = 3 \cdot K_{3} - 2 \cdot ._{1} f_{3} = 3 \cdot 0,065 - 2 \cdot 0,06 = 0,075 = 7,5 %

k_{2}

wird dann wie folgt ausgerechnet:

{(1 + k_{2})}^{2} = (1 + k_{1}) \cdot (1 + ._{1} f_{2}) \Rightarrow k_{2} = \sqrt{(1 + k_{1}) \cdot (1 + ._{1} f_{2})} - 1 = \sqrt{1,075 \cdot 1,05} - 1 = 0,06242 . .

= 6,242 ... %

oder

2 \cdot k_{2} = k_{1} +_{1} f_{2} \Rightarrow k_{2} = \frac{k_{1} +_{1} f_{2}}{2} = \frac{0,075 + 0,05}{2} = 0,0625 = 6,25 %

Wie du siehst, lohnt sich in diesem Fall gar nicht mit Zinseszins zu rechnen, weil es offensichtlich der Autor der Aufgabe gar nicht erwartet.

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