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Spur einer Matrix

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

marie1992 aktiv_icon

11:58 Uhr, 26.05.2012

Sei Tr(A) = $\sum_{i = 1}^{n} a_{i i}$ die Spur einer reellem oder komplexen nxn - Matrix A.

Zeige:

(a) Tr: $K_{n \times m} \to K$ ist linear und für $A \in K_{n \times m}, B \in K_{m \times n}$ gilt: Tr(AB) = Tr(BA), aber im Allgemeinen gilt NICHT Tr(ABC) = Tr(ACB).

(b) Für nxn - Matrizen A,B mit B invertierbar gilt $T r (B^{- 1} A B) = T r (A) .$

(e) Sei der Körper K die rellen Zahlen. Zeige, dass <A,B> = $T r (B^{t} A)$ ein positiv definites SKalarprodukt auf dem Raum der Matrizen definiert.

(f) Sei S = ${A \in R_{n \times n} : A = A^{t}}$ der Unterraum der symmetrischen Matrizen. Bestimme $S^{⊥}$ bezüglich des Skalarprodukts aus (e), d.h. den Unterraum ${B \in R_{n \times n} : T r (A B) = 0, \forall A \in S}$ .

zu (a): Dass die Spuren von AB und BA gleich sind, kann man ja zeigen, indem man einfach so zeigen oder?: $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (a_{i i} b_{j j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (b_{i i} a_{j j})$ (wobei ich mir vorher OBdA n als den kleineren der beiden Indizes definiert habe). Wie aber kann ich zeigen, dass die Spuren von ABC und ACB ungleich sind? Wenn ich nach dem gleichen System wie oben die Summen hinschreibe, dann kann ich daraus nicht wirklich was ablesen oder??

Zu den anderen Punkten habe ich leider selbst noch keine Idee, hätte vielleicht jemand eine Hilfestellung für mich?!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Photon aktiv_icon

15:59 Uhr, 26.05.2012

Zur b): Du kannst nicht ablesen, dass die Spuren gleich sind, das ist ja schon mal nicht verkehrt. :-) In einem solchen Fall wäre vielleicht ein Gegenbeispiel nicht verkehrt.

Zur c): Versuche zu zeigen und dann zu verwenden, dass Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B).

marie1992 aktiv_icon

13:40 Uhr, 27.05.2012

zu (b):

Also nur um sicher zu gehen, dass meine bisherigen Gedankengänge stimmen:

oBdA. n<m:

$T r (A B) = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i i}) \cdot (\sum_{i = 1}^{n} b_{i i}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (a_{i i} b_{j j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (b_{j j} a_{i i}) = (\sum_{i = 1}^{n} b_{i i}) \cdot (\sum_{i = 1}^{n} a_{i i}) = T r (B A)$

Aufgrunddessen kann ich sagen, dass die Spuren von AB und BA gleich sind.

Jetzt weiß ich aber nicht genau was du mit einem Gegenbeispiel meinst?!

Ich habe mir mal die Summen einzeln aufgeschrieben und versucht, ein Element zu finden, das in der einen Summe enthalten ist, in der anderen aber nicht:

$T r (A B C) = (a_{11} + a_{22} + a_{33} + ... + a_{n n}) \cdot (b_{11} + b_{22} + b_{33} + ... + b_{n n}) \cdot (c_{11} + c_{22} + c_{33} + ... + c_{n n})$ $T r (A C B) = (a_{11} + a_{22} + a_{33} + ... + a_{n n}) \cdot (c_{11} + c_{22} + c_{33} + ... + c_{n n}) \cdot (b_{11} + b_{22} + b_{33} + ... + b_{n n})$

So recht komme ich hierbei aber nicht weiter..?!

Und zu (c)

Dass Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B) gilt, kann ich schon zeigen, aber ich weiß leider nicht, wie ich das verwenden soll?! Soll ich dann vielleicht zeigen, dass Tr(AB - BA) = Tr(AB) - Tr(BA) = I ist oder so etwas in dieser Art? Darf ich das denn überhaupt machen?

Mathe-Steve aktiv_icon

16:02 Uhr, 27.05.2012

Hallo,

Zu a) mit einem Beispiel ist gemeint:

$T r ((\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})) = 55 T r ((\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix})) = 61$

zu c) $T r (A B - B A) = T r (A B) - T r (B A) = T r (A B) - T r (A B) = 0 \neq n = T r (I)$

Gruß

Stephan

marie1992 aktiv_icon

17:10 Uhr, 27.05.2012

Ah!!! WOW dankeschön =)) Jetzt ist alles klar!!

Hättest du vielleicht auch noch Ideen für die anderen Teilaufgaben (b),(e) oder (f)??

Mathe-Steve aktiv_icon

17:15 Uhr, 27.05.2012

b) $T r (B^{- 1} \cdot A \cdot B) = T r (B^{- 1} \cdot (A \cdot B)) = T r ((A \cdot B) \cdot B^{- 1}) = T r (A \cdot (B \cdot B^{- 1})) = T r (A \cdot I) = T r (A)$

marie1992 aktiv_icon

17:17 Uhr, 27.05.2012

Wahnsinn =) so einfach, wenn man es sieht.. DANKE!!

marie1992 aktiv_icon

17:25 Uhr, 27.05.2012

Mir ist gerade aufgefallen, dass ich bei einem früheren Post zu beweisen versucht habe, dass Tr(AB)=Tr(BA), bei meine Formulierung habe ich aber eher gezeigt, dass Tr(AB) = Tr(A)*Tr(B) = Tr(B)*Tr(A) = Tr(BA) ist, oder?? Darf man das so machen?? Wenn es nicht passen sollte, wie macht man es sonst??

Photon aktiv_icon

17:27 Uhr, 27.05.2012

Ja, bei deinem Beweis sind die Indizes verd

Mathe-Steve aktiv_icon

17:36 Uhr, 27.05.2012

Sei C=AB und D=BA, dann ist $c_{i i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{j i}, d_{j j} = \sum_{i = 1}^{n} b_{j i} a_{i j}$

$T r (A B) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i i} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{j i} = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} {b_{j i} a}_{i j} = \sum_{j = 1}^{n} d_{j j} = T r (B A)$

marie1992 aktiv_icon

17:42 Uhr, 27.05.2012

Ja, das macht jetzt viel mehr Sinn als mein Beweis-Versuch =)

Danke vielmals!!

Hat vielleicht noch jemand Ideen zu den Teilaufgaben (e) und (f)??

Mathe-Steve aktiv_icon

17:44 Uhr, 27.05.2012

Für e solltest Du mal im Vorlesungsskript nachschauen, welche Eigenschaften ein positiv definites Skalarprodukt hat und diese einzeln nachrechnen.

Z.B. $〈 X + Y, Z 〉 = T r (Z^{t} (X + Y)) = T r (Z^{t} X + Z^{t} Y) = T r (Z^{t} X) + T r (Z^{t} Y) = 〈 X, Z 〉 + 〈 Y, Z 〉$

marie1992 aktiv_icon

18:12 Uhr, 27.05.2012

Okay, also ich habe die Eigenschaften für ein positiv definites Skalarprodukt jetzt mal auf unseren Fall hier mit Matrizen umgelegt:

zu zeigen ist:

(i) <A+A',B> = <A,B> + <A',B>, also: Tr( $B^{t}$ (A+A')) = Tr( $B^{t}$ A) + Tr( $B^{t}$ A').

(ii) <aA,B> = a<A,B>, also: Tr( $B^{t}$ aA) = aTr( $B^{t}$ A). a aus rellen Zahlen

(iii) <A,B> = <B,A>, also: Tr( $B^{t}$ A) = Tr(A $B^{t}$ ).

(iv) <A,A> > 0, also: Tr( $A^{t}$ A) > 0.

(ii) ist mir glaube ich klar (da kann man doch das Skalar einfach aus der Summe rausziehen) und (iii) folgt aus (a).

Aber wie kann ich (i) und (iv) zeigen??

EDIT: Ah ok, dankeschön, also (i) hat sich erledigt - ich habe nicht gesehen, dass du das bereits gepostet hattest - DANKE!!

Mathe-Steve aktiv_icon

18:22 Uhr, 27.05.2012

iii geht etwas anders $〈 A, B 〉 = T r (B^{t} A) = T r ({(A^{t} B)}^{t}) = T r (A^{t} B) = 〈 B, A 〉$

Für <A,A> wirst Du um die Summendarstellung eines Elementes von $A^{t} A$ nicht umhinkommen.

marie1992 aktiv_icon

18:34 Uhr, 27.05.2012

Okay, die Summendarstellung würde so lauten:

Sei $A^{t} A$ = X, dann ist $x_{i i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} a_{j i}$ oder?? Aber was kann ich daraus jetzt schließen?? :-/

Mathe-Steve aktiv_icon

19:25 Uhr, 27.05.2012

Du kannst nichts daraus schließen, weil es falsch ist ;-)

$x_{i i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j}^{t} \cdot a_{j i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{j i} \cdot a_{j i} = \sum_{j = 1}^{n} {a_{j i}}^{2} \geq 0$

Wenn also alle Diagonalelemente nicht negativ sind ist Tr auch nicht negativ.

Jetzt muss man noch überlegen, dass =0 nur für A=0 gilt, aber das ist auch klar, weil jedes $c_{i j}$ Summe von Quadraten ist und 0 nur herauskommen kann, wenn alle Elemente 0 sind.

marie1992 aktiv_icon

19:38 Uhr, 27.05.2012

Dankeschön!!! Du hast mir wirklich sehr geholfen!!! =))

Jetzt bleibt mir nur noch die letzte Teilaufgabe (f) zu zeigen...Wenn dazu noch jemand einen Tipp hätte wäre das spitze!

Mathe-Steve aktiv_icon

20:10 Uhr, 27.05.2012

Also gut, noch einen letzten Tipp: für B muss gelten $B^{t} = - B$ .

marie1992 aktiv_icon

09:26 Uhr, 29.05.2012

DANKE! Jetzt hab ichs auch verstanden =)

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