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Spur,Surjektiv

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: matriz

bunny-mathe1 aktiv_icon

00:50 Uhr, 15.01.2012

Zeige, dass die Spur eine surjektive Abbildung tr

: M_{n x n} (I K) \to I K

definiert.

I K .

. Körper

t r (A) := a_{11} + ... + a_{n n} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i i},

dh die Summe der Diagonaleinträge.
Wie zeige ich aber, dass die Abbildung Surjektiv ist?
Sei

a \in I K,

zu zeigen ist, dass es dafür eine Matrix

M_{n x n} (I K)

gibt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

12:36 Uhr, 15.01.2012

Na, das ist doch jetzt wirklich kaum zu übersehen! (Allerdings fehlt die Voraussetzung

n \geq 1,

denn für

0 \times 0

Matrizen ist die Aussage falsch)
Betrachte Matrizen

A,

die fast nur Nullen beinhalten.

bunny-mathe1 aktiv_icon

13:26 Uhr, 15.01.2012

Hei ;-)
Ich finde, es oft schwer einen Beweis zu schreiben, bei so DIngen, die eigentlich offensichtlich sind

Wie gesagt, das Verständnis fehlt mir hier nicht, nur den beweis sauber anzuschreiben.

z . B

. tr(3)

\to (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Liebe grüße

hagman aktiv_icon

14:10 Uhr, 15.01.2012

Sie

a \in K

gegeben. betrachte die Matrix

A = (A_{i, j})

mit

a_{1,1} = a

und

a_{i, j} = 0

sonst. Dann ist

t r (A) = a_{1,1} + ... + a_{n, n} = a_{1,1} = a

.

Ein alternativer Versuch wäre übrigens: Bekanntlich gilt für die Einheitsmatrix

t r (E_{n}) = n

. Zu gegebenem

a \in K

ist dann per Linearität der Spur

t r (\frac{a}{n} \cdot E n) = \frac{a}{n} \cdot t r (E_{n}) = a

. Warum wäre dieser Beweis falsch (selbst wenn man

n > 0

voraussetzt)?

bunny-mathe1 aktiv_icon

14:36 Uhr, 15.01.2012

danke den ersten Bew. versteh ich.
ABer was bdeuten beim zweiten ABsatz

\frac{a}{n}

?
LG

962616

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