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Spurtopologie

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Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

Sunny2011

20:24 Uhr, 20.11.2017

Ist (Ω,d) ein metrischer Raum und A⊆Ω ≠ ∅. Dann

(A,

d|_(AxA)) metrischer Raum. Zz:
Menge B⊆A offen ⇔ es gibt offene Menge U⊆ Ω mit B=U∩A.
Die Hinrichtung habe ich bewiesen.
Bei der Rückrichtung brauch ich Hilfe...
Also

U

ist ja offen.. Kann man sagen, dass dann U∩A offen ist

\to B

ist offen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:06 Uhr, 21.11.2017

"Kann man sagen, dass dann U∩A offen ist"

Das ist doch Defininition der Spurtopologie

Sunny2011

12:50 Uhr, 21.11.2017

Die Definition hatte ich nicht gelernt

. .

. deshalb sollte man dies beweisen.

DrBoogie aktiv_icon

12:56 Uhr, 21.11.2017

"Die Definition hatte ich nicht gelernt"

Und warum nicht? :-O
Weiß Du denn nicht, dass man in der Mathematik immer mit der Definition anfängt? Ohne Definition zu nutzen kannst Du gar nichts beweisen.

"deshalb sollte man dies beweisen."

Was dies? :-O

ermanus aktiv_icon

13:01 Uhr, 21.11.2017

Hallo,
vielleicht ist die Aufgabe so gemeint,
dass die Offenheit von

B

A

über die restringierte Metrik

d ∣_{A \times A}

definiert ist, und man nun zeigen soll, dass diese der Offenheit in der Spurtopologie
entspricht. Dann würde die Aufgabe doch noch einen Sinn geben ??
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

15:29 Uhr, 21.11.2017

Nun will ich meiner möglichen Interpretation noch einen Beweis für "

\Rightarrow

" folgen
lassen:
Für jedes

x \in Ω

und jede reelle Zahl

r > 0

sei

U_{r} (x)

die
"offene Kugel"

U_{r} (x) = {y \in Ω ∣ d (y, x) < r}

x

mit "Radius"

r

.
Entsprechend sei

U_{r}^{ʹ} (x) = {y \in A ∣ d (y, x) < r} = U_{r} (x) \cap A

die
offene Kugel um

x

mit Radius

r

im Raum

(A, d ∣_{A \times A})

. Da

B

offen ist in

A

,
gibt es zu jedem

x \in B

ein

r (x) > 0

, so dass

U_{r (x)}^{ʹ} (x) \subseteq B

gilt,
d.h.

B = ⋃_{x \in B} U_{r (x)}^{ʹ} (x) = ⋃_{x \in B} (U_{r (x)} (x) \cap A) = ⋃_{x \in B} (U_{r (x)} (x)) \cap A

. Setze

U = ⋃_{x \in B} (U_{r (x)} (x))

.

Oh, sorry :( Das war die Hinrichtung ...

ermanus aktiv_icon

16:03 Uhr, 21.11.2017

Rückrichtung:
Sei

B = U \cap A

mit einem in

Ω

offenen

U

. Wir zeigen, dass ein beliebiger Punkt

x \in B

ein innerer Punkt ist.
Sei also

x \in B \Rightarrow x \in U

, da

U

offen ist, gibt es eine relle Zahl

r > 0

,
so dass

U_{r} (x) \subseteq U

ist, dann aber ist

U_{r}^{ʹ} (x) = U_{r} (x) \cap A \subseteq U \cap A = B

,
damit ist

x

innerer Punkt von

B

bzgl. der Topologie des Raumes

(A, d ∣_{A \times A})

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