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Stärkste Beschleunigung

Schüler

Tags: Anwendungsaufgaben, Differantialrechnung

Joshua2 aktiv_icon

10:20 Uhr, 31.01.2019

Wenn die Mengenfunktion

f (t)

die Kilometer angibt, die ein Fahrzeug in einer Zeit zurückgelegt, ist es dann richtig, die stärkste Beschleunigung mit

f''' (t) = 0

und

f'''' (t) < 0

zu berechnen?

pivot aktiv_icon

10:29 Uhr, 31.01.2019

Hallo,

prinzipiell richtig, wenn die Funktion viermal differenzierbar ist. Die zweite Ableitung beschreibt ja die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit.

Gruß

pivot

anonymous

12:44 Uhr, 31.01.2019

Hallo
Ihr meint das Richtige.
Ich darf's bitte auch formal richtig stellen.

>

Ich nehme an, du verstehts unter

f (t)

den Weg in Abhängigkeit der Zeit.

>

Dann ist die erste Ableitung die Geschwindigkeit.

>

Dann ist die zweite Ableitung die Beschleunigung.

>

Dann ist die dritte Ableitung dort Null, wo die Beschleunigung ein Extremum hat.

>

Dann ist die vierte Ableitung dort kleiner Null, wenn dieses Extremum ein Hochpunkt ist,

d . h

. die Beschleunigung ein lokales Maximum ist.

pivot aktiv_icon

14:09 Uhr, 31.01.2019

@11engleich

Vielleicht meinte ich das richtige. Auf jeden Fall steht das Falsche bei mir da. Danke, dass du nochmal es richtig gestellt hast.

P.S.
Mir ist jetzt dein Username Elfengleich klar geworden. Das ist auch gut so. Denn bis jetzt fand ich ihn nicht ganz so toll. "Eins, Eins, engleich"?!

HAL9000

16:40 Uhr, 31.01.2019

"Wenn die Funktion viermal differenzierbar ist" ... richtig. Ohne Vorliegen diese Voraussetzung stimmt es natürlich nicht - Beispiel:

Bei Weg-Zeit-Funktion

f (t) = 1 + 3 t^{2} - (t - 1)^{2} ∣ t - 1 ∣

für

t \in [0, 2]

wird die stärkste Beschleunigung bei

t = 1

gemessen, aber diese Funktion ist an dieser Stelle

t = 1

nur zweimal differenzierbar:

f ´ (t) = 6 t - 3 (t - 1) ∣ t - 1 ∣

f ´ ´ (t) = 6 - 6 ∣ t - 1 ∣

Joshua2 aktiv_icon

00:46 Uhr, 01.02.2019

Also der GTR sagt mir es gibt auch eine 3. Ableitung und mehr brauchst du bei der Funktion ja dann nicht. Es reicht ja

f

= 0

und

f

< 0 . A l \leq r d \in g s i s t b e i d e r F u n k t i o n f''' (1) = 0 . D i e h \in r e i c h e n d e B e d i g u n g i s t a l s o n i c h t e r f ü l < d a s v z w a b e r s c h o n .

Joshua2 aktiv_icon

00:51 Uhr, 01.02.2019

doppler

anonymous

08:42 Uhr, 01.02.2019

Hallo Joshua
Ursprünglich sprachst du noch von

f''' (t) = 0

Zuletzt hingegen plötzlich von

f = 0

und von

f < 0

Du kannst von uns nicht erwarten, das verstehen zu können.
Darüber hinaus ist deine zweite Zeile irgendwie unverständlich dis-formatiert.
Ich ahne, du sprichst evtl. von "l", von "r", von "d", ohne diese Größen erklärt zu haben.

Hast du noch Fragen oder Unsicherheiten?
Wenn ja, dann musst du schon nochmals verständlich erklären und nachlegen.

Joshua2 aktiv_icon

09:14 Uhr, 01.02.2019

Hallo, die automatische Umwandlung hat den Text hier leider bis zur Unkenntlichkeit verändert. Bei der Funktion von HAL9000 bedarf es ja nur der Bedingung, zweite Ableitung gleich Null und der hinreichenden Bedingung dritte Ableitung kleiner Null. Die erste Bedingung ist erfüllt für

x

gleich zwei, die hinreichende Bedingung auch, da die dritte Ableitung gleich minus sechs ist. Für eins wäre sie Null aber die maximale Beschleunigung liegt bei zwei. Eins hatte ich vom Post davor falsch übernommen. Gäbe die Funktion die Menge an, läge die stärkste Bechleunigung bei eins was mit der dritten Ableitung zu ermitteln wäre, die vierte Ableitung gäbe die hinreichende Bedingung aber nicht her, da sie nicht zu bilden ist, aber da sollte das vzw wohl reichen.

HAL9000

09:40 Uhr, 01.02.2019

> Bei der Funktion von HAL9000 bedarf es ja nur der Bedingung, zweite Ableitung gleich Null und der hinreichenden Bedingung dritte Ableitung kleiner Null.

Wieso "zweite Ableitung gleich Null" ? Es geht in der Fragestellung um maximale Beschleunigung, NICHT um maximale Geschwindigkeit - anscheinend bringst du da was durcheinander!

Das Beispiel zeigt eine zweimal stetig differenzierbare Weg-Zeit-Funktion, deren Beschleunigungsmaximum

a_{max} = f ´ ´ (1) = 6

ist, aber die Beschleunigungs-Zeit-Funktion

a (t) = f ´ ´ (t)

besitzt an dieser Stelle

t = 1

einen "Knick", so dass weder

f ´ ´ ´ (t)

und erst recht nicht

f ´ ´ ´ ´ (t)

dort existieren.

Joshua2 aktiv_icon

21:51 Uhr, 01.02.2019

Ich glaub hier gibt es ein Missverständnis über den Begriff der Weg-Zeit-Funktion. Das habe ich als Geschwindigkeit interpretiert. Deine 2. Ableitung ist offenbar richtig und die ist an der Stelle 1 Null. Das gleiche gilt laut GTR für die 3. Ableitung, die da sein müsste Ableitung von 6 –

6 | t - 1 |

also

- 6 (t - 1) \cdot ((t

– 1)²)^-0,5 ok, dass für 1 eigentlich nicht definiert, der GTR meint aber die 3. Ableitung sei an der Stelle 1 Null. Man könnte ggf. auch interpretieren, dass die zweite Ableitung bis 1 stetig mit

m = 6

steigt und nach 1 stetig mit

m = 6

fällt, also muss bei 1 die Beschleunigung maximal sein und die ist 6.

HAL9000

22:02 Uhr, 01.02.2019

Weg-Zeit bedeutet Weg-Zeit, und damit nicht Geschwindigkeit-Zeit.

> Deine 2. Ableitung ist offenbar richtig und die ist an der Stelle 1 Null.

Ist sie nicht, ich sage es jetzt wiederholt und diesmal zum letzten Mal: Es ist

f ʺ (1) = 6

.

> der GTR meint aber die 3. Ableitung sei an der Stelle 1 Null.

So ein Unfug. Auch das wiederhole ich: Die dritte Ableitung ist an der Stelle

x = 1

nicht definiert. Womöglich hält es der GTR für eine tolle Idee, einfach mal

f ‴ (1) := \frac{1}{2} (f_{-} ‴ (1) + f_{+} ‴ (1))

zu definieren (also Mittelwert aus links- und rechtsseitiger dritter Ableitung an dieser Stelle)...

Joshua2 aktiv_icon

22:21 Uhr, 01.02.2019

Tippt man die 3. Ableitung

- 6 (t - 1) \cdot ((t -

1)²)^-0,5 in den GTR ein, ist die an der Stelle 1 nicht definiert. Lässt man den GTR die Ableitung machen, gibt er Null aus. Ich vermute es handelt sich um eine stetig behebbare Definitionslücke. de.wikipedia.org/wiki/Definitionsl%C3%BCcke#Stetig_hebbare_Definitionsl%C3%BCcke

HAL9000

10:33 Uhr, 02.02.2019

> Ich vermute es handelt sich um eine stetig behebbare Definitionslücke.

Ist es nicht: Man kann schließlich aus

f ´ ´ (t) = 6 - 6 ∣ t - 1 ∣

ausrechnen, dass

f ´ ´ ´ (t) = 1

für

t < 1

sowie

f ´ ´ ´ (t) = - 1

für

t > 1

gilt. Und an der Stelle selbst haben wir die linksseitige dritte Ableitung

f_{-} ´ ´ ´ (1) = 1

und die rechtsseitige dritte Ableitung

f_{+} ´ ´ ´ (1) = - 1

. Allein der Fakt, dass diese beiden zuletzt genannten Werte verschieden sind zeigt die Nichtexistenz von

f ´ ´ ´ (1)

Joshua2 aktiv_icon

09:26 Uhr, 03.02.2019

Ich glaub, ich hab' des Rätzels Lösung. Du setzt ja gar nicht 1 ein sondern eine Zahl die gegen 1 läuft wegen:

f''' (x) = lim h

gegen

0 \frac{f'' (1 + h) - f'' (1)}{h}

Und

f'' (1)

ist ja offenbar noch definiert.

Joshua2 aktiv_icon

01:12 Uhr, 14.02.2019

Also bei der Funktion

f (x) =

|x²-4| liefert der GTR für

f' (2)

kein Ergebnis. Insofern bleibt es ein Rätzel, warum er es bei der andern Funktion macht.

Joshua2 aktiv_icon

01:17 Uhr, 14.02.2019

Interessanterweise hängt es davon ab, wie man die Funktion eintippt. Von

f (x) =

|x²-4| liefert der GTR für

f' (- 2)

und f'(2)kein Ergebnis, für

f (x) =

Wurzel aus (x²-4)² liefert der GTR für

f' (- 2)

und

f' (2)

jeweils Null als Ergebnis

... . .

anonymous

12:43 Uhr, 14.02.2019

Hallo Joshua
Du scheinst dich noch mit dem "GTR" - ich ahne mit dem Taschenrechner - zu beschäftigen.
Wir wissen nicht, welchen Taschenrechner du nutzt.
Wir wissen nicht, was du mit deinem Taschenrechner machst.
Sei sicher: wenn du Differenzierbarkeit untersuchen willst, dann nicht mit dem Taschenrechner.
Du musst dich schon mit der Theorie und dem Verständnis der Differenzierbarkeit auseinander setzen.
Das kann dir ein Taschenrechner nicht abnehmen.

Joshua2 aktiv_icon

09:03 Uhr, 15.02.2019

>Wir wissen nicht, welchen Taschenrechner du nutzt.
Casio fx CG

20

>Wir wissen nicht, was du mit deinem Taschenrechner machst.
Hier Funktionen eintippen, Ableitungen berechnen lassen, Nullstellen bzw. Werte berechnen lassen
>Sei sicher: wenn du Differenzierbarkeit untersuchen willst, dann nicht mit dem Taschenrechner.
Der Taschenrechner hat immer Recht!? Ich vermute mal die Programmierer haben sich was dabei gedacht ….

>

Du musst dich schon mit der Theorie und dem Verständnis der Differenzierbarkeit auseinander

>

setzen. Das kann dir ein Taschenrechner nicht abnehmen.
du auch nicht :-) aber dafür poste ich ja hier :-)

Theoretisch spricht nichts gegen eine Ableitung der Funktion

f (x) =

(x²)^0,5 an der Stelle 0 obwohl die Ableitung f‘(x) = x/(x²)^0,5 ist, oder eine Ableitung der Funktion 6 – 6((t-1)²)^0,5 an der Stelle 1 obwohl f‘(x) = -6(t-1)⋅((t – 1)²)^-0,5, nur müsste die Ableitung dann nicht

- 1

und 1 bzw.

- 6

und 6 sein?

f (x) =

x²
f‘(0)

= lim h

gegen

0 (0 +

h)²

- 0)

geteilt durch

h

f‘(0)

= lim h

gegen

0 (0 + 0 h +

h²

- 0)

geteilt durch

h

f‘(0)

= lim h

gegen

0 h

f‘(0)

= 0

f (x) =

x²
f‘(1)

= lim h

gegen

0 ((1 +

h)²

- 1)

geteilt durch

h

f‘(1)

= lim h

gegen

0 ((1 + 2 h +

h²

- 1)

geteilt durch

h

f‘(1)

= lim h

gegen

02 h : h +

h²/h
f‘(1)

= lim h

gegen

02 h : h + h

f‘(1)

= 2

f (x) =

(x²)

^0,5

f‘(1)

= lim h

gegen

0 (((1 +

h)²)^0,5

- {(1)}^{0,5})

geteilt durch

h

f‘(1)

= lim h

gegen

0 (((1 + 2 h +

h²)^0,5

- {(1)}^{0,5})

geteilt durch

h

f‘(1)

= lim h

gegen

0 ((1 + h) - {(1)}^{0,5})

geteilt durch

h v (- (1 + h) - 1)

geteilt durch

h

f‘(1)

= lim h

gegen

0 (1 + h

–

1)

geteilt durch

h v (- 1 - h - 1)

geteilt durch

h

f‘(1)

= lim h

gegen

0 h : h v - 2 : h

–

h : h

f‘(1)

= 1

f (x) =

(x²)

^0,5

f‘(-1)

= lim h

gegen

0 (((- 1 +

h)²)^0,5

- {(1)}^{0,5})

geteilt durch

h

f‘(-1)

= lim h

gegen

0 (((1 - 2 h +

h²)^0,5

- {(1)}^{0,5})

geteilt durch

h

f‘(-1)

= lim h

gegen

0 ((1 - h) - {(1)}^{0,5})

geteilt durch

h v (- (1 - h) - 1)

geteilt durch

h

f‘(-1)

= lim h

gegen

0 (1 - h

–

1)

geteilt durch

h v (- 1 + h - 1)

geteilt durch

h

f‘(-1)

= lim h

gegen

0 - h : h v - 2 : h + h : h

f‘(-1)

= - 1

f (x) =

(x²)

^0,5

f‘(0)

= lim h

gegen

0 ((0 +

h)²)^0,5

- {(0)}^{0,5}

)geteilt durch

h

f‘(0)

= lim h

gegen

0 ((0 + 0 h +

h²)^0,5

- {(0)}^{0,5}

)geteilt durch

h

f‘(0)

= lim h

gegen

0 ((0 + h) - {(0)}^{0,5})

geteilt durch

h v (- (0 + h) - {(0)}^{0,5})

geteilt durch

h

f‘(0)

= lim h

gegen

0 (0 + h

–

0)

geteilt durch

h v (0 - h

–

0)

geteilt durch

h

f‘(0)

= lim h

gegen

0 h : h v - h : h

f‘(0)

= - 1

und 1 oder 0?

f (x) = 6

– 6((t-1)²)^0,5
f‘(1)

= ((6

– 6((1+h-1)²)^0,5)-(6 – 6((1-1)²)^0,5)) geteilt durch

h

f‘(1)

= (6

–

6 (1 + h - 1) - 6)

geteilt durch

h v (6 + 6 (1 + h - 1) - 6)

geteilt durch

h

f‘(1)

= (6

–

6 - 6 h + 6 - 6

)geteilt durch

h v (6 + 6 + 6 h - 6 - 6)

geteilt durch

h

f‘(1)

= - 6 h : h v 6 h : h

f‘(1)

= - 6

und 6 oder 0?

ledum aktiv_icon

15:39 Uhr, 15.02.2019

Hallo
ich verstehe nicht, warum du uns das vorrechnest

f (x) = | x |

oder f(x)?sqrt(x^2) kann man skizzieren und sieht, dass bei Null eine Spitze, bzw ein Knick ist, also der GW der Steigung von links und rechts verschieden ist, da muss man eigentlich nichts rechnen
oder einfach schreiben

f (x) = x f + r x \geq 0

und

f (x) = - x

für

x < 0

und das dann für

6 | x - 1 |

zu machen verschiebt das ja nur um 1 nach rechts und macht die Spitze spitzer.
also was sollen die Rechnereien?
Gruß ledum

Joshua2 aktiv_icon

10:09 Uhr, 16.02.2019

Hallo,
die Frage die sich stellte war ja, dass der GTR für die 3. Ableitung -6(t-1)⋅((t- 1)²)^-0,5 an der Stelle 1 das Ergebnis Null auswirft, wenn man ihn das als Ableitung von 6 – 6((t-1)²)^0,5 rechnen lässt und ob das definiert ist. Macht man die Ableitung mit der

h

Methode ist das offenbar definiert, es kommt aber

- 6

und 6 heraus. Das ist mE auch logisch, da man ja die Funktion 6-6∣t-1∣ auch als zwei Graden auffassen könnte, mit der Steigung

- 6

für den Bereich

]

-unendlich bis

1]

und mit der Steigung 6 für den Bereich

[1

bis unendlich

[

(1; 6)

ist der Schnittpunkt der Geraden und gehört zu beiden Geraden, hat also beide Steigungen.

(1; 6)

ist aber auch der Extrempunkt und da ist normalerweise die Steigung Null. Von daher erscheint Null als Ableitung von 6 – 6((t-1)²)^0,5 an der Stelle 1 auch plausibel, auch wenn es rechnerisch hier noch nicht nachvollzogen werden konnte. Bei der

h

Methode wird

\frac{h}{h}

ja zu

1,

weshalb ich auch die anderen Rechnungen eingestellt hatte. Ich kann mir vorstellen, dass es was damit zu tun hat, dass die Ableitung von (t-1)² an der Stelle 1 Null ist. Aber warum macht der GTR keine Ableitung

z . B

. von

| x |

an der Stelle Null? Die Ableitung

\frac{x}{| x |}

ist da zwar nicht definiert aber mit der h-Methode geht‘s doch, oder ?

Ableitung von

| x |

an der Stelle 0

((0 + h)

–

0) : h

und

(- (0 + h)

–

0) : h

((0 + h)

–

0) : h

und

(- 0 - h

–

0) : h

h : h

und

- h : h

f‘(0)

= - 1

und 1

anonymous

11:10 Uhr, 16.02.2019

Auf die Gefahr hin, dass wir uns zum wiederholten Male wiederholen:
Was willst du eigentlich?

Ich ahne, die ursprüngliche Aufgabe vom

31.01

. um

10 : 20 h

scheint ja beantwortet.

Der Kern der letzten gefühlt

20

Beiträgen triftet jetzt hingegen zum Thema 'Differenzierbarkeit'.

Dass der Taschenrechner dir keine Antwort geben wird
"Die Stelle ist an dieser Stelle differenzierbar."
oder
"Die Stelle ist an dieser Stelle nicht differenzierbar."
das sollte dir klar sein.

Also was willst du eigentlich wissen, fragen, vertiefen oder neu definieren?

Auch waren wir uns hoffentlich einig, dass die Ableitung der Funktion

y = | x |

an der Stelle

x = 0

>

einen linksseitigen Grenzwert hat, der beträgt

y' (x = 0) = - 1

>

einen rechtsseitigen Grenzwert hat, der beträgt

y' (x = 0) = 1

>

dass diese beiden Grenzwerte nicht identisch sind,

>

dass folglich die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar ist,

>

und dass folglich die Funktion an dieser Stell keine definierte Ableitung besitzt,

>

und dass der Taschenrechner im Rahmen seiner Möglichkeiten halt irgend einen Zahlenwert in Spektrum der vielen Optionen ausgibt.

Also nochmals: Was willst du eigentlich wissen, fragen, vertiefen oder neu definieren?

Joshua2 aktiv_icon

00:16 Uhr, 18.02.2019

>

Der Kern der letzten gefühlt

20

Beiträgen triftet jetzt hingegen zum Thema 'Differenzierbarkeit'.

>

Dass der Taschenrechner dir keine Antwort geben wird
>"Die Stelle ist an dieser Stelle differenzierbar."

>

oder

>

"Die Stelle ist an dieser Stelle nicht differenzierbar."

>

das sollte dir klar sein.

Wenn du

1 : 2

in einen Taschenrechner eintippst. Sagt der Taschenrechner, dass das geht indem er ein Ergebnis anzeigt, wenn du

ln (- 3)

oder

1 : 0

eintippst sagt der Taschenrechner dass es nicht geht nicht. Warum sollte mir ein Taschenrechner, der die Differenzierbarkeit anbietet, nicht sagen, ob eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist?

>

Also was willst du eigentlich wissen, fragen, vertiefen oder neu definieren?

Simpelment nachvollziehen, warum der Taschenrechner meint, dass (x²)^0,5 an der Stelle 0 differenzierbar ist und die Steigung Null hätte, und warum dass bei

| x |

nicht der Fall sein soll

>

Auch waren wir uns hoffentlich einig, dass die Ableitung der Funktion

> y = | x |

>

an der Stelle

x = 0

>

einen linksseitigen Grenzwert hat, der beträgt

>

y′(x=0)=−1

>

einen rechtsseitigen Grenzwert hat, der beträgt

>

y′(x=0)=1

>

dass diese beiden Grenzwerte nicht identisch sind,

>

dass folglich die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar ist,

Also ich finde nicht, dass die Funktion an der Stelle nicht differenzierbar ist, es gibt halt nur zwei Ergebnisse, genauso wie Wurzel aus x²

= 4

auch zwei Ergebnisse liefert.

>

Also nochmals: Was willst du eigentlich wissen, fragen, vertiefen oder neu definieren?

Warum soll

| x |

an der Stelle 0 nicht differenzierbar sein (x²)^0,5 aber doch?

Warum sollte ein Punkt nur eine Steigung haben?

Und warum soll die Steigung von (x²)^0,5 an der Stelle

0,

Null betragen?

anonymous

02:38 Uhr, 18.02.2019

Hallo Joshua,

die Nichtdifferenzierbarkeit der Betragsfunktion in 0
ist ein Paradebeispiel, das jeder "Ersti" an der Uni
vorgesetzt bekommt (siehe Bild).

Ein Punkt hat keine Steigung, der Graph einer
in diesem Punkt differenzierbaren Funktion
schon und zwar genau eine !

Mit den technischen Hilfsmitteln ist das so eine Sache.
Beim Programmieren am PC zum Beispiel kann ich mich
ganz unterschiedlich einrichten. Ich kann Ergebnisse
ohne Rücksicht auf Verluste erzwingen oder ich kann
besonders einfach und somit schnell rechnen lassen
oder aber auch intergalaktisch genau.
Traurige Realität ist aber, dass digitale Geräte
ungenau sind - eine irrationale Zahl etwa, Game over !

Wenn man mich zwingen würde,

| x |

bei 0 zu differenzieren,
würde ich 0 sagen, weil das

50 : 50

zwischen

- 1

und 1 liegt.

Horrido !

anonymous

13:00 Uhr, 18.02.2019

"Also ich finde nicht, dass die Funktion an der Stelle nicht differenzierbar ist, es gibt halt nur zwei Ergebnisse, genauso wie Wurzel aus x² auch zwei Ergebnisse liefert."
Es gibt nicht nur "zwei Ergebnisse", mit

>

linksseitigem Grenzwert

y' = - 1

>

rechtsseitigem Grenzwert

y' = + 1

>

und dieser ominösen Kinderei, es sei ein 'Extrempunkt', deshalb

y' = 0

diskutierst du sogar 3 Ergebnisse.
Wir könnten ja willkürlich auch noch weitere hinzu fügen, meinetwegen

> y' = 0.5

Nochmals zum wiederholten Male wiederholend:
Der Taschenrechner zeigt halt im Rahmen seiner Möglichkeiten ein numerisches Ergebnis an.
Dieses Ergebnis ist ja auch gewissermaßen nachvollziehbar.

Aber:
Wer Differenzierbarkeit untersuchen will, der muss sich doch mit dem Verständnis und der Definition von Differenzierbarkeit auseinader setzen.
Ein klein wenig nachschlagen, verstehen wollen und studieren muss doch zur Erkenntnis führen:
Die Tatsache gerade, dass es mehrere Steigungen an dieser Stelle ist, ist doch gerade das Kennzeichen dafür, dass hier keine Differenzierbarkeit vorliegt.

Da hilft auch kein bockiges
"Also ich finde nicht, dass die Funktion an der Stelle nicht differenzierbar ist",
denn das mag deine aufsässig, widerspenstige Meinung sein. Die Fachwelt sieht es anders.
Und ich will immer noch hoffen, dass du eigentlich hier bist, um zu lernen, und nicht auf deiner persönlichen einmal gefassten voreiligen Meinung verharrend dich unbelehrbar zeigst.
Im Moment scheinst du auf die Anzeige einer Maschine zu starren, und der mehr Glauben zu schenken, als ungefähr 10-mal klaren Worten.

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