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StammIntegral nicht bilden sondern berechnen

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Integration

Tags: Integralrechnung

 
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NinaNormal

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22:24 Uhr, 19.02.2020

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Hallo!

Mal wieder habe ich eine Frage, bei der ich nicht weiter komme und ich auch im Netz nicht wirklich etwas hilfreiches finde.

Ich beschäftige mich gerade mit dem Stammintegral.

Die Aufleitung von f(x)=3x2 zBsp ist ja F(x)=x3.
Wie ich das bilde ist mir klar.

Ich möchte aber wissen wie man rechnerisch dahin kommt.
Also beweisen!

Bei einer einfachen Funktion wie f(x)=3 zBsp kann man sich das zeichnerisch ja klar machen.
Die Zeichnung würde ein 4eck bilden. 3 ist die Höhe (also y) und x die variable Breite.
yx=A. Also ist die Stammfunktion 3x=F(x).

Bei einer linearen Funktion ist das auch alles noch logisch.

Wie schaut es aber bei einer Funktion aus, die hoch 2, hoch 3 oder noch höher ist?
Da gibt es doch bestimmt auch eine Möglichkeit für?

Für eure Antworten bedanke ich mich im voraus!

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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anonymous

anonymous

22:34 Uhr, 19.02.2020

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Hallo
Du solltest dir klar machen, dass das Integral die Umkehrfunktion der Differenziation ist,

und dass der Differenzialquotient definiert ist, als:

df/dx =limw0(f(x+w)-f(x)w)

NinaNormal

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22:50 Uhr, 19.02.2020

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Da geht es um den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung, richtig!?
Das habe ich im Netz auch schon gefunden.
Da brauche ich ja aber sowohl f(x) als auch F(x).
Ich möchte aber mit f(x) auf F(x) kommen, ohne dass ich weiss wie man aufleitet,...
...also Exponent +1, das Ergebnis durch den Faktor.

...Oder hilft mir dieser Hauptsatz dabei auch?
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abakus

abakus

22:54 Uhr, 19.02.2020

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"Die Aufleitung von ..." gibt es in der Mathematik nicht.
Es gibt die Stammfunktion, das unbestimmte Integral und das bestimmte Integral.
Ebensowenig gibt es die Tätigkeit "aufleiten". Die gemeinte Tätigkeit heißt "integrieren" oder "Stammfunktion bilden".
Auch deinen Begriffsmischmasch "Stammintegral" verwendet man nicht.

Das Bilden einer Stammfunktion hat mit Flächenberechnungen erst mal nicht unmittelbar etwas zu tun. Eine Stammfunktion F(x) von einer Funktion f(x) hat einfach die Eigenschaft, dass F'(x)=f(x) gilt.
Dass man Stammfunktionen unter bestimmten Umständen für Flächenberechnungen einsetzen kann kommt erst später.

PS:
"...also Exponent +1, das Ergebnis durch den Faktor." funktioniert nur beim Bilden von Stammfunktionen, wenn f(x) die Form f(x)=xn hat (und das auch nur, wenn n nicht -1 ist).
NinaNormal

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23:05 Uhr, 19.02.2020

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Danke!

MIt den Begrifflichkeiten habe ich das tatsächlich immer nicht so.
Hoffe immer, dass gewusst wird was gemeint ist.
Dann meine ich das "STammintegral bilden".
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Respon

Respon

23:09 Uhr, 19.02.2020

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Stammfunktion
NinaNormal

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23:10 Uhr, 19.02.2020

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:-D)! Meine ich natürlich, ;-).
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ledum

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15:44 Uhr, 20.02.2020

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Hallo
selbst wenn du das Integral nur als Fläche unter einem Graphen f(x) siehst, kannst du direkt sehen, wenn du die Fläche bis x+Δx bestimmst und davon die Flache bis x abziehst, dass dann die Differenz beinahe ein Rechteck der Breite\ Δx und Höhe f(x) ist. d.h.
ax+Δxf(x)dx-axf(x)=f(x)Δx, dividiere durch Δx und da steht praktisch die Ableitung des Integrals.
anders, wenn man keine Stammfunktion kennt, d.h. keine Funktion weiss, deren Ableitung f(x) ist.
Dann kann man das Integral nur ausrechnen, indem man die Strecke von a bis bn teile teilt und alle die Rechteckigen addiert. wenn man das mit x2 macht kommt man auf eine summe, die man direkt bestimmen kann. Aber warum sollte man, wo es den bequemen Satz gibt?
Gruß ledum
NinaNormal

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16:18 Uhr, 20.02.2020

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Hallo!

Der erste Teil ist mir klar.
Das ist ja der Satz.
Da zeigt man, dass die Stammfunktion zur Funktion gehört, also F(x)=f(x).
Um das zu beweisen braucht man dann aber sowohl f(x) als auch F(x).

Aber erkläre mir doch mal genauer den 2. Teil deines Eintrages!
Ich glaube das möchte ich wissen. ;-).

Textauszug:

"Anders, wenn man keine Stammfunktion kennt, dh keine Funktion weiß, deren Ableitung f(x) ist.
Dann kann man das Integral neu ausrechnen, indem man die Strecke von a bis bn Teile teilt und alle die Rechteckigen addiert, wenn man x2 macht kommt man auf eine Summe, die man direkt bestimmen kann."


Wie geht das.
Wie stelle ich da eine Formel für auf?
Gibt es dafür einen Begriff?

Und gilt das nachher auch für x3 usw?

Meine Frage war ja, wie komme ich rechnerisch von f(x) zu F(x).?

LG
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ledum

ledum aktiv_icon

23:12 Uhr, 20.02.2020

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hallo
man nähert die Funktion durch eine sogenannte Treppenfunktion die einmal etwa zu groß "Obersumme" und einmal zu klein "Untersumme" ist und berechnet die Fläche der Rechtecke und summiert sie. Wenn du etwa x2 von 0 bis x integrieren willst, dann unterteilst du erstmal in n Teile, jedes ist dann xn breit und diese Breite multiplizierst du mit den funktionswerten
also x/n*((x/n)^2+(2x/n)^2+(3x/n)^2+......+((n-1)x/n)^2+(nx/n)^2=x^3/n^3*(1+2^2+3^2+.....+(n-1)^2+n^2) diese Summe kann man berechnen . sie ist gleich (n)(n+1)2n+16=n33+ kleinere Potenzen
mit dem x3n3 zusammen gibt das x33+ Glieder mit n und n2 im Nenner, die beliebig klein werden, wenn man n immer größer macht. damit hat man die Fläche zwischen 0 und x mit x33 bestimmt.
das geht auch noch mit x3, aber nicht mit allen Funktionen, aber mit so einem Verfahren, (das man noch verbessern kann) werden Funktionen integriert, bzw bestimmte Integrale ausgerechnet , zu denen man keine Stammfunktionen kennt.
Gruß ledum

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