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Schüler

Tags: Integralrechnung, MATH

timo1010 aktiv_icon

18:01 Uhr, 14.09.2020

Hallo.
Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

In die Blutbahn einer Patientin wurden

20

mg eines medizinischen Wirkstoffs zum Zeitpunkt

t = 0

eingegeben. Die Abbaugeschwindigkeit des Wirkstoffes

(\in

mg/h) lässt sich mithilfe der Funktion

f

mit

f (t) = 2 . {0,905}^{t}

modellieren.

a .)

Zeichne den Graphen

f

und interpretiere den Verlauf.

b .)

Untersuche, wie viel mg des Wirkstoffs nach

12

stunden abgebaut sind.

c .)

Nach welcher Zeit ist weniger als

1 %

der Anfangsmenge des Wirkstoffs im Körper?

Bei a habe ich die Funktion gezeichnet (exponentielle Funktion, nähert sich immer mehr der x-Achse an.
Interpretation: Die Konzentration im Blut nimmt mit der Zeit immer weiter ab, jedoch wird die Konzentration nie 0 sein, da es eine exponetialfunktion ist.

Bei

b .)

Integral von

0 - 12

(2*0,905°t)

d t

ist ungefähr

13,99

mg.

Bei

c

habe ich leider keine Idee, wie ich die Aufgabe angegehen soll...

Schonmal vielen Dank für eure hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pivot aktiv_icon

18:17 Uhr, 14.09.2020

Hallo,

du hast 20mg in

t = 0

. Jetzt ziehst du den Abbau des Wirkstoffes ab um die Restmenge (

R (x)

) zu erhalten (zum Zeitpunkt x).

R (x) = 20 - \int_{0}^{x} 2 \cdot 0, 90 5^{t} d t

Und diese Restmenge soll dann weniger als 1% betragen. Also ist die Ungleichung

R (x) < 20 \cdot 0, 01

R (x) < 0, 2

>>Bei b.) Integral von 0−12 (2*0,905°t) dt ist ungefähr 13,99 mg.<<
Richtig. Gerundet sind das 14mg.

Gruß
pivot

timo1010 aktiv_icon

18:25 Uhr, 14.09.2020

Das bedeutet ich setze jetzt für

x 0,2

ein ? Wenn ja, dann würde ich

19,60396637

erhalten... Stimmt das?

pivot aktiv_icon

18:27 Uhr, 14.09.2020

Du kannst das Integral erstmal ganz normal ausrechnen. Die Funktion bzgl. t integrieren und dann die Obergrenze x und die Untergrenze 0 einsetzen.
Danach wird weiter gerechnet.

timo1010 aktiv_icon

18:30 Uhr, 14.09.2020

Das bedeutet ich setze jetzt für

x 0,2

ein ? Wenn ja, dann würde ich

19,60396637

erhalten... Stimmt das?

pivot aktiv_icon

18:34 Uhr, 14.09.2020

Ist mir nicht ganz klar was du meinst. Du integrierst erst einmal:

\int_{0}^{x} 0, 90 5^{t} d t

Wie gehst du jetzt weiter vor?

timo1010 aktiv_icon

18:39 Uhr, 14.09.2020

Müsste vor

{0,905}^{t}

nicht noch

2 \cdot

stehen, da das ja die gegebene Funktion ist?

Also ich müsste jetzt entweder das

t

oder das

x

wegbekommen, weil ich ja nur eine Variable haben darf. Und da

x

ja die Zeit darstellt, die es braucht bis weniger als

1 %

des Wirkstoffes im Körper ist, müsste ich irgend eine Zahl für das

t

ersetzen.
Leider weiß ich nicht welche... Vielleicht die

0,2

da das ja

1 %

von den Anfangsmenge (

20

mg) ist???

pivot aktiv_icon

18:43 Uhr, 14.09.2020

>>Vielleicht die 0,2 da das ja 1% von den Anfangsmenge ( 20 mg) ist??? <<

Das ist richtig.

>>Also ich müsste jetzt entweder das t oder das x wegbekommen.<<

Das t bekommst du weg, weil du ja beim (bestimmten) Integral die Grenzen 0 und x einsetzt. Und wenn du das Integral berechnest hast wird die Ungleichung nach x aufgelöst.

timo1010 aktiv_icon

18:47 Uhr, 14.09.2020

Das heißt ich rechne jetzt:

Integral

0 - x {0,905}^{0,2} d x

ist gleich

63,7152032

Und nun?

Sorry für die Umstände, die ich bereite. Bin schlecht in Mathe

pivot aktiv_icon

19:10 Uhr, 14.09.2020

Ich hatte ja mit der Variable t integriert:

2 \cdot \int 0, 90 5^{t} d t = 2 \cdot \frac{1}{\ln (0, 905)} \cdot 0, 90 5^{t}

Nun die Grenzen 0 und x einsetzen.

2 \cdot (\frac{1}{\ln (0, 905)} \cdot 0, 90 5^{x} - \frac{1}{\ln (0, 905)} \cdot 0, 90 5^{0}) = \frac{2}{\ln (0, 905)} \cdot (0, 90 5^{x} - 1)

\frac{2}{\ln (0, 905)} \approx - 20, 036

Also ist die Ungleichung

20 - (- 20, 036 \cdot 0, 90 5^{x} - (- 20, 036) < 0, 2

20 + 20, 036 \cdot 0, 90 5^{x} - 20, 036 < 0, 2

N.R.:

20 - 20, 036 = - 0, 036

- 0, 036 + 20, 036 \cdot 0, 90 5^{x} < 0, 2

20, 036 \cdot 0, 90 5^{x} < 0, 236

0, 90 5^{x} < \frac{0, 236}{20, 036}

Logarithmus auf beiden Seiten.

\ln (0, 90 5^{x}) < \ln (\frac{0, 236}{20, 036})

x \cdot \ln (0, 905) < \ln (\frac{0, 236}{20, 036})

x > \frac{\ln (\frac{0, 236}{20, 036})}{\ln (0, 905)}

timo1010 aktiv_icon

19:16 Uhr, 14.09.2020

Danke für den Lösungsweg.
Kannst du mir noch erklären, warum ein Logarithmus verwendet werden muss?

pivot aktiv_icon

19:32 Uhr, 14.09.2020

Weil das x im Exponenten steht. Dieses x muss man irgendwie runter holen. Das macht man mit der Logarithmierung. Danach wird folgendes Logarithmusgesetz angewandt:

\ln (a^{x}) = x \cdot \ln (a)

Wichtig zu beachten: Beim letzten Schritt dreht sich das Kleiner-Zeichen in ein Größer-Zeichen um. Das ist deswegen so, da wir hier die Ungleichung durch eine negative Zahl teilen, nämlich

\ln (0, 905) = - 0, 0998 < 0

\ln (a)

ist immer negativ, wenn

a

kleiner als

1

ist.

1512062

1512041

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