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Schüler

Tags: Integralrechnung, MATH

 
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timo1010

timo1010 aktiv_icon

18:01 Uhr, 14.09.2020

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Hallo.
Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

In die Blutbahn einer Patientin wurden 20 mg eines medizinischen Wirkstoffs zum Zeitpunkt t=0 eingegeben. Die Abbaugeschwindigkeit des Wirkstoffes ( mg/h) lässt sich mithilfe der Funktion f mit f(t)=2.0,905t modellieren.
a.) Zeichne den Graphen f und interpretiere den Verlauf.
b.) Untersuche, wie viel mg des Wirkstoffs nach 12 stunden abgebaut sind.
c.) Nach welcher Zeit ist weniger als 1% der Anfangsmenge des Wirkstoffs im Körper?

Bei a habe ich die Funktion gezeichnet (exponentielle Funktion, nähert sich immer mehr der x-Achse an.
Interpretation: Die Konzentration im Blut nimmt mit der Zeit immer weiter ab, jedoch wird die Konzentration nie 0 sein, da es eine exponetialfunktion ist.

Bei b.) Integral von 0-12 (2*0,905°t) dt ist ungefähr 13,99 mg.

Bei c habe ich leider keine Idee, wie ich die Aufgabe angegehen soll...

Schonmal vielen Dank für eure hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
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pivot

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18:17 Uhr, 14.09.2020

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Hallo,

du hast 20mg in t=0. Jetzt ziehst du den Abbau des Wirkstoffes ab um die Restmenge (R(x)) zu erhalten (zum Zeitpunkt x).

R(x)=20-0x20,905tdt

Und diese Restmenge soll dann weniger als 1% betragen. Also ist die Ungleichung R(x)<200,01

R(x)<0,2

>>Bei b.) Integral von 0−12 (2*0,905°t) dt ist ungefähr 13,99 mg.<<
Richtig. Gerundet sind das 14mg.

Gruß
pivot
timo1010

timo1010 aktiv_icon

18:25 Uhr, 14.09.2020

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Das bedeutet ich setze jetzt für x0,2 ein ? Wenn ja, dann würde ich 19,60396637 erhalten... Stimmt das?
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pivot

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18:27 Uhr, 14.09.2020

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Du kannst das Integral erstmal ganz normal ausrechnen. Die Funktion bzgl. t integrieren und dann die Obergrenze x und die Untergrenze 0 einsetzen.
Danach wird weiter gerechnet.
timo1010

timo1010 aktiv_icon

18:30 Uhr, 14.09.2020

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Das bedeutet ich setze jetzt für x0,2 ein ? Wenn ja, dann würde ich 19,60396637 erhalten... Stimmt das?
Antwort
pivot

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18:34 Uhr, 14.09.2020

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Ist mir nicht ganz klar was du meinst. Du integrierst erst einmal:

0x0,905tdt

Wie gehst du jetzt weiter vor?
timo1010

timo1010 aktiv_icon

18:39 Uhr, 14.09.2020

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Müsste vor 0,905t nicht noch 2 stehen, da das ja die gegebene Funktion ist?

Also ich müsste jetzt entweder das t oder das x wegbekommen, weil ich ja nur eine Variable haben darf. Und da x ja die Zeit darstellt, die es braucht bis weniger als 1% des Wirkstoffes im Körper ist, müsste ich irgend eine Zahl für das t ersetzen.
Leider weiß ich nicht welche... Vielleicht die 0,2 da das ja 1% von den Anfangsmenge ( 20 mg) ist???
Antwort
pivot

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18:43 Uhr, 14.09.2020

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>>Vielleicht die 0,2 da das ja 1% von den Anfangsmenge ( 20 mg) ist??? <<

Das ist richtig.

>>Also ich müsste jetzt entweder das t oder das x wegbekommen.<<

Das t bekommst du weg, weil du ja beim (bestimmten) Integral die Grenzen 0 und x einsetzt. Und wenn du das Integral berechnest hast wird die Ungleichung nach x aufgelöst.
timo1010

timo1010 aktiv_icon

18:47 Uhr, 14.09.2020

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Das heißt ich rechne jetzt:

Integral 0-x0,9050,2dx ist gleich 63,7152032

Und nun?




Sorry für die Umstände, die ich bereite. Bin schlecht in Mathe
Antwort
pivot

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19:10 Uhr, 14.09.2020

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Ich hatte ja mit der Variable t integriert:

20,905tdt=21ln(0,905)0,905t

Nun die Grenzen 0 und x einsetzen.

2(1ln(0,905)0,905x-1ln(0,905)0,9050)=2ln(0,905)(0,905x-1)

2ln(0,905)-20,036

Also ist die Ungleichung
20-(-20,0360,905x-(-20,036)<0,2
20+20,0360,905x-20,036<0,2

N.R.:20-20,036=-0,036

-0,036+20,0360,905x<0,2
20,0360,905x<0,236
0,905x<0,23620,036

Logarithmus auf beiden Seiten.

ln(0,905x)<ln(0,23620,036)

xln(0,905)<ln(0,23620,036)

x>ln(0,23620,036)ln(0,905)






timo1010

timo1010 aktiv_icon

19:16 Uhr, 14.09.2020

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Danke für den Lösungsweg.
Kannst du mir noch erklären, warum ein Logarithmus verwendet werden muss?
Antwort
pivot

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19:32 Uhr, 14.09.2020

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Weil das x im Exponenten steht. Dieses x muss man irgendwie runter holen. Das macht man mit der Logarithmierung. Danach wird folgendes Logarithmusgesetz angewandt:

ln(ax)=xln(a)

Wichtig zu beachten: Beim letzten Schritt dreht sich das Kleiner-Zeichen in ein Größer-Zeichen um. Das ist deswegen so, da wir hier die Ungleichung durch eine negative Zahl teilen, nämlich ln(0,905)=-0,0998<0

ln(a) ist immer negativ, wenn a kleiner als 1 ist.