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Standard Darstellung der Gruppe S3

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anonymous

anonymous

13:08 Uhr, 27.07.2012

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Hallo!

Ich beschäftige mich mit der Darstellung endlicher Gruppen und habe eine Frage zur Standarddarstellung der Gruppe S3.
Wie man auf die natürliche Permutationsdarstellung kommt, habe ich verstanden. Diese ist ja doch nicht irreduzibel.
Für die Standarddarstellung der S3 braucht man eine Basis. Ich wollte hier diese nehmen:
(1,-1,0) und (0,-1,1)
für den Unterraum V={(z1,z2,z3)∈C3:z1+z2+z3=0}
Ich will die Matrixen rausbekommen, verstehe aber nicht wie man mit dieser Basis auf 2x2 Matrixen kommen kann.
Es wäre sehr schön, wenn mir jemand das erklären könnte.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

15:40 Uhr, 27.07.2012

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S3 enthält unter anderem die Permutation σ=(12) und τ=(123).
σ bildet in ℂ3 ja (z1,z2,z3)↦(z2,z1,z3) ab und für τ entsprechend (z1,z2,z3)↦(z2,z3,z1). Und natürlich ist dein V hierunter invariant.
Wie wird nun deine gewählte Basis b1=(1,-1,0),b2=(0,-1,1) abgebildet?
Offenbar ist σ(b1)=(-1,1,0)=-b1,σ(b2)=(-1,0,1)=b2-b1, also die zu σ bezüglich dieser Basis gehörige Matrix Mσ=(-1-101).
Ebenso ergibt sich τ(b1)=(-1,0,1)=b2-b1 und τ(b2)=(-1,1,0)=-b1, also ist die zu τ gehörige Matrix Mτ=(-1-110).
Wegen S3=〈σ,τ〉 kannst du die weiteren Gruppenelementa als Produkte von Mσ und Mτ finden.
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