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Standardabweichung

Schüler

Tags: Stochastik

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17:31 Uhr, 27.05.2010

Ich versuche grad eine Standardabweichung zu berechnen.
Dazu habe ich folgende Formel gefunden: members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/stat3.gif

Leider verstehe ich nicht wirklich wie ich mit dieser Darstellung (Summenzeichen) rechnen soll. Ich habe auch nach einer Erklärung dazu gesucht aber nichts gefunden was ich verstanden hätte. Schon blöd wenn man um eine Schule zu besuchen die das beibringt erst eine Aufnahmeprüfung bestehen muss in welcher man es sowieso schon beherrschen muss :-D)

Ich wäre froh wenn mir das jemand erklären kann (mit Beachtung der Tatsache dass ich kein Vorwissen habe).

Z . b . :

Wie könnte man die Formel für die Standardabweichung ohne Summenzeichen aufschreiben?

Tausend Dank...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:09 Uhr, 27.05.2010

das summenzeichen muss man folgendermassen verstehen:

beispiel

\sum_{i = 1}^{4} 2 \cdot i

du sollst eine summe bilden mit

2 \cdot i

. dabei gehst mit der zahl los, die unter dem summenzeichen steht. hier

i = 1 \to 2 \cdot 1

dann zaehlst du

i

eins hoch und bildest den naechsten term

i = 2 \to 2 \cdot 2

usw.

i = 3 \to 2 \cdot 3

i = 4 \to 2 \cdot 4

die zahl ueber dem summenzeichen gibt dir an, wie weit du das treiben sollst. also hoerst du hier bei

i = 4

auf. jetzt heisst das ding nicht umsonst summenzeichen. du sollst naemlich aus diesen termen eine summe bilden. also ist

\sum_{i = 1}^{4} 2 \cdot n = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4

wie muss also deine standardabweichung ausgeschrieben aussehen??

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18:41 Uhr, 27.05.2010

vielen dank für deine Hilfe

Ich verstehe deine erklärung. Ich verstehe aber an meiner standardabweichung aber den Teil in der Klammer nicht.

(x i -

Mittelwert)^2

gehen wir davon aus:

x 1 = 3,5

x 2 = 4

x 3 = 4

x 4 = 5,5

Mittelwert ist also

= 4.25

bedeutet das nun folgendes?

(x 1 -

Mittelwert)^2

+ (x 2 -

Mittelwert)^2

+ (x 3 -

Mittelwert)^2

+ (x 4 -

Mittelwert)^2

das wäre dann:

V (x) = 2,25

und das macht irgendwie so überhaupt keinen sinn.

: (

edit: moment mal... irgendwie macht das ja doch ein wenig sinn. kann mir das jemand bestätigen?

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19:47 Uhr, 27.05.2010

ich hab das jetzt nicht nachgerechnet, aber das prinzip scheinst du verstanden zu haben ;-)

hoffe du hast nicht vergessen das ergebnis noch durch 4 zu teilen...

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20:20 Uhr, 27.05.2010

jap, ich glaube ich habs soweit verstanden. ich danke dir :-)

eine Frage noch:
Das Ergebnis habe ich dann noch geteilt. allerdings durch

3,

nicht durch

4 .

gemäss dieser formel wäre das Ergebnis durch

n - 1

(also

3)

zu teilen: hermes.ifkw.uni-muenchen.de/demo/clic/files/1/1066996058.gif

gemäss dieser formel wäre das ergebnis durch 4 zu teilen: members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/stat3.gif

wenn ich durch 3 teile, erhalte ich

0.75

Dieses Ergebnis scheint richtig zu sein(?)...

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20:25 Uhr, 27.05.2010

ja... das mit dem

n - 1

habe ich ueber jahre nicht verstanden gehabt ;-)

du musst durch

n - 1

teilen, wenn du nur eine schaetzung hast. will sagen, wenn du die standardabweichung aus einer stichprobe berechnest.

du musst durch

n

teilen, wenn dir deine grundpopulation bekannt ist.

hmm... ich ringe gerade mit mir dir zu erklaeren warum das so ist...

aber ich muss jetzt los ( wenn interesse dann morgen)

lg

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20:49 Uhr, 27.05.2010

Ich gebe mich gern damit zufrieden dass es einfach so ist. Mein Kopf raucht. :-D)

Was mich aber noch interessieren würde, ist folgendes:

wenn nur diese angaben bekannt sind:

x 2 = 4

x 3 = 4

Mittelwert

= 4.25

Varianz

= 0.75

lässt sich dann

x 1

und

x 4

berechnen?

ich habe mal versucht das in einer Gleichung aufzulösen, aber das ging daneben.

: (

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17:07 Uhr, 28.05.2010

\bar{x} = \frac{1}{4} \sum_{i = 1}^{4} x_{i} = \frac{x_{1} + 4 + 4 + x_{4}}{4} = 4.25

gleichung umstellen

\frac{x_{1} + 8 + x_{4}}{4} = 4.25

x_{1} + 8 + x_{4} = 17

x_{1} + x_{4} = 9

x_{1} = 9 - x_{4}

varianz ist ja (ich nehme mal die formel mit

n - 1)

\frac{1}{3} \sum_{i = 1}^{4} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = \frac{{(x_{1} - 4.25)}^{2} + {(4 - 4.25)}^{2} + {(4 - 4.25)}^{2} + {(x_{4} - 4.25)}^{2}}{3} = 0.75

umstellen ergibt

{(x_{1} - 4.25)}^{2} + {(- 0.25)}^{2} + {(- 0.25)}^{2} + {(x_{4} - 4.25)}^{2} = 2.25

{(x_{1} - 4.25)}^{2} + 0.0625 + + 0.0625 + {(x_{4} - 4.25)}^{2} = 2.25

{(x_{1} - 4.25)}^{2} + 0.125 + {(x_{4} - 4.25)}^{2} = 2.25

{(x_{1} - 4.25)}^{2} + {(x_{4} - 4.25)}^{2} = 2.125

x_{1}^{2} - 8.5 x_{1} + 18.0625 + x_{4}^{2} - 8.5 x_{4} + 18.0625 = 2.125

x_{1}

durch obere formel aus mittelwertrechnung ersetzen ergibt

{(9 - x_{4})}^{2} - 8.5 (9 - x_{4}) + 18.0625 + x_{4}^{2} - 8.5 x_{4} + 18.0625 = 2.125

{(9 - x_{4})}^{2} - 8.5 (9 - x_{4}) + x_{4}^{2} - 8.5 x_{4} + 36.125 = 2.125

81 - 18 x_{4} + x_{4}^{2} - 76.5 + 8.5 x_{4} + x_{4}^{2} - 8.5 x_{4} + 36.125 = 2.125

2 x_{4}^{2} - 18 x_{4} + 38.5 = 0

x_{4}^{2} - 9 x_{4} + 19.25 = 0

pq formel

x_{4} = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} - 19.25}

x_{4} = 4.5 \pm \sqrt{20.25 - 19.25}

x_{4} = 4.5 \pm \sqrt{1}

x_{4} = 3.5

oder

x_{4} = 5.5

dann in

x_{1} = 9 - x_{4}

einsetzen ergibt

x_{1} = 5.5

oder

x_{1} = 3.5

man kommt also auf die richtigen zahlen, man weiss aber nicht mehr ob

x_{1} = 3.5

und

x_{4} = 5.5

war oder andersrum.

lg

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23:08 Uhr, 28.05.2010

Vielen Dank MokLok!
Das hat mir sehr geholfen.

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