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Standardabweichung addieren

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Standardabweichung, Zufallsvariablen

123Mathe123 aktiv_icon

10:42 Uhr, 02.09.2019

Hallo zusammen,

folgende Frage kriegen wir einfach nicht in den Griff:
Im Rahmen der multivariaten Statistik gilt es die Standardabweichung auszurechnen, mit den herkömmlichen Formeln kommen wir einfach nicht drauf.

Abhängige Variable: Preis
Unabhängige Variablen: Automatik (Dummy:1,0) und Benziner (Dummy:

1,0)

Folgende Werte sind gegeben:
Für

0,0

(Kein Automatik, Kein Benziner) ist der Mittelwert

16,2

und die Standardabweichung

1,6

bei

21

Beobachtungen
Für

0,1

(Automatik,Benziner) Mittelwert

18,2

und Standardabweichung

1,4

und ebenfalls balanciert

21

Beobachtungen.
Für diesen Teil ist dann der Mittelwert

17,2

und es ist die Gesamtsumme der Standardabweichung für die beiden Merkmalsausprägungen

(0,1 : 0,0)

auszurechnen, und auf die kommen wir einfach nicht. Vielleicht weiß ja jemand weiter.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

11:59 Uhr, 02.09.2019

Vereinigt man die 0-Stichprobe

n_{0} = 21, {\overline{x}}_{0} = 16.2, s_{0} = 1.6

mit der 1-Stichprobe

n_{1} = 21, {\overline{x}}_{1} = 18.2, s_{1} = 1.4

, dann gilt für die Summe der Beobachtungswerte bzw. die Summe der Quadrate der Beobachtungswerte

Σ_{x} = n_{0} {\overline{x}}_{0} + n_{1} {\overline{x}}_{1}

Σ_{x x} = (n_{0} - 1) s_{0}^{2} + n_{0} {\overline{x}}_{0}^{2} + (n_{1} - 1) s_{1}^{2} + n_{1} {\overline{x}}_{1}^{2}

Aus diesen Werten lassen sich dann Mittelwert

\overline{x}

und Streuung

s^{2}

der Gesamtstichprobe vom Umfang

n = n_{0} + n_{1}

so berechnen:

\overline{x} = \frac{1}{n} Σ_{x}

(hast du mit 17.2 richtig getan).

s^{2} = \frac{1}{n - 1} (Σ_{x x} - n {\overline{x}}^{2})

.

Das ganze sollte man aber nicht als "Gesamtsumme der Standardabweichungen" bezeichnen, sondern als (Gesamt-)Standardabweichung der Stichprobenvereinigung.

123Mathe123 aktiv_icon

13:24 Uhr, 02.09.2019

Vielen vielen Dank! Damit kommen wir auf die richtige Lösung!

HAL9000

14:10 Uhr, 02.09.2019

Mit Einsetzen und ein wenig Umformen kommt man auch auf folgende Varianzformel der Gesamtstichprobe:

s^{2} = \frac{1}{n - 1} ((n_{0} - 1) s_{0}^{2} + (n_{1} - 1) s_{1}^{2} + \frac{n_{0} n_{1}}{n} {({\overline{x}}_{0} - {\overline{x}}_{1})}^{2})

,

die stellt sehr schön dar den Einfluss der beiden Ausgangsvarianzen sowie der Differenz der Ausgangsmittelwerte.

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