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Standardabweichung beim Lotto

Schüler

Tags: Erwartungswert, Lotto, Standardabweichung, Wahrscheinlichkeitsrechnung

Josua aktiv_icon

09:10 Uhr, 20.04.2018

$a)$ Gefragt ist der Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl der Richtigen beim Lott0 6 aus $49$

Wahrscheinlichkeiten:
$P$ für 0 Richtige $= 0,436; P$ für $1 = 0,413; P$ für $2 = 0,132; P$ für $3 = 0,0177;$
$P$ für $4 = 0,000969; P$ für $5 = 1,85 \cdot 10^{- 5}; P$ für $6 = 7,15 \cdot 10^{- 8}$

Erwartunswert $= 0,734$
Standardabweichung $= 0,76$

Wozu soll das gut sein? Heißt das, durschnittlich werden $0,734$ Richtige pro Spiel erzielt?

Und das ca. $99 %$ aller Spiele mit maximal 3 Treffern enden $(3,014)$ ?
Erwartungswert $+ 3 \cdot$ Standartabweichung. (Wahrscheinlichkeit für $0; 1; 2$ und 3 Treffern liegt bei $43,6 % + 41,3 % + 13,2 % + 1,77 % = 99,87 %)$

Kann man die Standardabweichung auch auf $z . B$ . 3 Richtige anwenden oder nur auf den Mittelwert?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Bummerang

09:59 Uhr, 20.04.2018

Hallo,

"Wozu soll das gut sein?"

Es soll Dir verdeutlichen, warum Du meistens keine einzige Zahl richtig getippt hast! Wenn Du ein Jahr lang Lotto spielst (mittwochs und samstags, also sagen wir der Einfachheit halber $100$ Ziehungen), dann darfst Du über's Jahr verteilt nur ca. $73$ richtige Zahlen erwarten. Da das eine oder andere Mal auch mehrere Zahlen richtig sein können, wirst Du viele Ziehungen erleben, ohne eine einzige richtige Zahl.

"Heißt das, durschnittlich werden $0,734$ Richtige pro Spiel erzielt?" - Ja!

"Und das ca. $99 %$ aller Spiele mit maximal 3 Treffern enden (3,014)?"

Hier wurde die sogenannte 3-sigma-Regel angewandt, die besagt, dass sich bei normalverteilten Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit, dass man innerhalb eines Intervalls von $3 \cdot σ$ um den Erwartungswert liegt, bei ca. $99,7 %$ liegt. Auch wenn die einzelnen Trefferwahrscheinlichkeiten bei einer Ziehung mittels hypergeometrischer Verteilung berechnet werden, so verteilen sich die Trefferanzahlen über unendlich vielen Ziehungen nahezu normalverteilt um den Erwartungswert. Die hier gemachte Aussage ist, weil die Standardabweichung ja auch ein Erwartungswert ist, dass Du bei einer Ziehung mit $99,7 %$ maximal einen Dreier $(3,014)$ bekommst. Wieder über's Jahr gerechnet $(100$ Ziehungen!) heisst das, dass Du rein statistisch in $99,7$ Ziehungen nicht über einen Dreier hinauskommst. Willst Du rein statistisch in wenigstens einer (ganzen) Ziehung mehr als einen Dreier, dann musst Du 4 Jahre lang $(400$ Ziehungen; $398,8$ Ziehungen mit maximal einen Dreier) spielen!

"Kann man die Standardabweichung auch auf $z$ .Bz.B. 3 Richtige anwenden oder nur auf den Mittelwert?"

Wenn Du eine Zufallsvariable $X$ definierst, deren Erwartungswert im Lotto 3 Richtige ist, dann kannst Du für diese Zufallsvariable auch eine Standardabweichung berechnen. Die Zufallsvariable, die hier definiert ist, hat eben einen anderen Erwartungswert. Betrachte die Vorschrift zur Berechnung der Standardabweichung. Darin kommen neben der Zufallsvariablen selbst nur noch der Erwartungswert vor. Damit kann man für die hier verwendete Zufallsvariable keine (nach üblichen Definitionen festgelegte) Standardabweichung auf 3 Richtige errechnen!

Josua aktiv_icon

15:11 Uhr, 20.04.2018

Danke für die AW. Du schreibst: "Auch wenn die einzelnen Trefferwahrscheinlichkeiten bei einer Ziehung mittels hypergeometrischer Verteilung berechnet werden, so verteilen sich die Trefferanzahlen über unendlich vielen Ziehungen nahezu normalverteilt um den Erwartungswert."

Diese Sigmaregel scheint ja fast immer zu klappen, aber angenommen man hat $100$ schwarze Kugeln in einer Urne die jeweils $0,01$ Euro Wert sind und $100$ blaue, die jeweils $100$ Euro wert sind. Dann liegt der Erwartungswert für einmal ziehen bei $50,005$ und die Standardabweichung bei $49,995$ . Nach der Sigmaregel sollten im Bereich $+ -$ einmal der Standardabweichung rund $68 %$ der Treffer liegen. In dem Beispiel wären es aber $100 %$ .

Zum Lotto:

Da hab ich noch ausgerechnet wie groß die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn (mindestens 3 Richtige) bei 1 und bei $10$ und bei $100$ Spielen ist:

Wahrscheinlichkeit für $0; 1$ und 2 Treffern liegt bei $43,6 % + 41,3 % + 13,2 % = 98,1 %$
$\Rightarrow$ Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn pro Spiel $100 % - 98,1 % = 1,9 %$

Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 mal 3 Richtige bei $10$ Spielen
$P = 1 - (10$ über $0) {0,0177}^{0} \cdot {(1 - 0,0177)}^{10} = 1 - {(1 - 0,0177)}^{10} = 16,35 %$

$+$ Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 mal 4 Richtige bei $10$ Spielen
$P = 1 - {(1 - 0,000969)}^{10} = 0,96 %$

$+$ Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 mal 5 Richtige bei $10$ Spielen
$P = 1 - {(1 - 1,85 \cdot 10^{- 5})}^{10} = 0,018 %$

$+$ Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 mal 6 Richtige bei $10$ Spielen
$P = 1 - {(1 - 7,15 \cdot 10^{- 8})}^{10} = 0,000071 %$

Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn bei $10$ Spielen beträgt $17,34 %$

Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 mal 3 Richtige bei $100$ Spielen
$P = 1 - (100$ über $0) {0,0177}^{0} \cdot {(1 - 0,0177)}^{100} = 1 - {(1 - 0,0177)}^{100} = 83,23 %$

$+$ Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 mal 4 Richtige bei $100$ Spielen
$P = 1 - {(1 - 0,000969)}^{100} = 9,24 %$

$+$ Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 mal 5 Richtige bei $100$ Spielen
$P = 1 - {(1 - 1,85 \cdot 10^{- 5})}^{100} = 0,18 %$

$+$ Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 mal 6 Richtige bei $100$ Spielen
$P = 1 - {(1 - 7,15 \cdot 10^{- 8})}^{100} = 0,00071 %$

Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn bei $100$ Spielen beträgt $92,66 %$

Aber wie ist das bei folgender Aufgabe:

In einem Geldbeutel befinden sich $12 \cdot 50$ Cent, fünf mal 1 Euro und 8 mal 2 Euro

Es wird zwei mal gezogen, wobei die Person die zieht zwischen den Münzen keinen Unterschied merken soll.

Berechnen sie den Erwartungswert und die Standartabweichung für die Anzahl

Erster Zug:

Erwartungswert $1,08$
Standartabweichung $0,66$
Mittelwert $1,08$

Zweiter Zug:

$\frac{11}{24} \cdot 0,50 \frac{5}{24} \cdot 1 \frac{8}{24} \cdot 2$
Erwartungswert 2 Zug $1,10$ Euro
Standartabweichung 2 Zug $0,66$
Mittelwert $1,10$

$\frac{12}{24} \cdot 0,50 \frac{4}{24} \cdot 1 \frac{8}{24} \cdot 2$
Erwartungswert 2 Zug $1,08$ Euro
Standartabweichung 2 Zug $0,67$
Mittelwert $1,08$

$\frac{12}{24} \cdot 0,50 \frac{5}{24} \cdot 1 \frac{7}{24} \cdot 2$
Erwartungswert 2 Zug $1,04$ Euro
Standartabweichung 2 Zug $0,64$
Mittelwert $1,04$

Durchschnittlicher Erwartungswert im 2. Zug $1,0764$

Durchschnittlicher Erwartungswert für 1 und 2. Zug pro Zug $1,0782$

Zweimal ziehen ergibt im Durchschnitt $1,08 + 1,0764 = 2,16$ Euro

Ist das so richtig? Und was ist mit der Standardabweichnung?

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