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Standardabweichung einer gemittelten Auswahl

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Mittelwert, Standardabweichung, Verteilungsfunktion

 
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Urmel01

Urmel01 aktiv_icon

08:41 Uhr, 22.03.2019

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Hallo zusammen,

ich habe ein Statistisches Problem. Und zwar habe ich eine Gaussverteilte Menge von von Federn.
Der Mittelwert der Federkraft liegt bei 1000N, die Standardabweichung bei 100N.

Nun entnehme ich dieser Menge zufällig 100 Feder (ohne Zurücklegen) und kombiniere diese (Kombinieren heisst, es Erfolg eine Mittelwertbildung. Eine entnommene Feder mit 1010N und eine Feder mit 990N kombiniert sind für das Beispiel als physikalisch Identisch zu zwei Federn mit 1000N anzusehen.

Der Mittelwert der 100 entnommenen Federn wir daher vermutlich ebenfalls wieder bei 1000N liegen. Durch die Mittelung wird aber die Standardabweichung deutlich kleiner sein. Je mehr Federn entnommen werden, desto geringer erwarte ich die Streuung.

Kann mir einer sagen, wie ich diese Standardabweichung berechnen kann. Mir fehlt hier komplett der Ansatz.

Vielen Dank
Gruß Urmel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
HAL9000

HAL9000

09:16 Uhr, 22.03.2019

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Einfache Regeln:

1) Der Erwartungswert der Summe ist gleich der Summe der Einzelerwartungswerte.

2) Sind die Größen zudem unabhängig (also unabhängige Auswahl der 100 Federn), so ist die Varianz der Summe gleich der Summe der Einzelvarianzen. Wohlgemerkt Summe der Varianzen, NICHT Summe der Standardabweichungen (häufiger Fehler).

Diese Aussagen benötigen übrigens keinerlei Verteilungsannahmen, nur die Existenz der beteiligten Erwartungswerte und Varianzen. Zusammen ergeben 1),2) sowie

3) Die Summe unabhängiger Normalverteilungen ist wieder normalverteilt.

für die Ausgangsgrößen Xk∼N(μ,σ2) dann für den Mittelwert X‾=1n∑k=1nXk die Verteilung X‾∼N(μ,σ2n), d.h., die Standardabweichung des Mittelwerts ist gleich σ2n=σn.
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