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Stationäre Punkte berechnen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Tags: Differentiation, Funktionalanalysis, mehrdimensionale Analysis

Satschy aktiv_icon

09:20 Uhr, 06.08.2015

Hallo zusammen,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
Gegeben ist $f (x, y) = {(x + y)}^{3} - 6 x y$
Geucht sind die stationären Punkte. Ich habe jetzt den Gradienten ausgerechnet und die partiellen Ableitungen gleich Null gesetzt. Nun steh ich aber mal wieder total auf dem Schlauch. Wie löse ich diese Gleichungen jetzt auf?
Und stimmen die partiellen Ableitungen überhaupt?

Ich habe: $f_{x} = 3 \cdot {(x + y)}^{2} - 6 y$
$f_{y} = 3 \cdot {(x + y)}^{2} - 6 x$

Und jetzt?
Ich hab grad eine dickes Eichenholzbrett vor dem Kopf ;-)

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.

Liebe Grüße,

Satschy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

10:02 Uhr, 06.08.2015

$3 (x + y)^{2} - 6 y = 0$ => $6 y = 3 (x + y)^{2}$ .
$3 (x + y)^{2} - 6 x = 0$ => $6 x = 3 (x + y)^{2} = 6 y$ => $x = y$ .
Weiter trivial.

Satschy aktiv_icon

10:40 Uhr, 06.08.2015

Vielen Dank erstmal für deine schnelle Antwort :-D)

Genau darauf bin ich auch gekommen, dachte aber, dass das nicht sein kann, da es damit ja theoretisch unendlich viele Kandidaten für lokale Extrema gibt. Stelle ich nun einfach die Hesse-Matrix auf und schaue, für welches $x$ und $y$ sie positiv bzw. negativ definit wird?

Yokozuna aktiv_icon

11:23 Uhr, 06.08.2015

Hallo,

da gibt es weder theoretisch noch praktisch unendlich viele Kandidatenpunkte. Mit Hilfe von $x = y$ kann man $z . B$ . in der Gleichung

$f_{x} = 3 \cdot {(x + y)}^{2} - 6 \cdot y = 0$

alle $y$ eliminieren und Du hast dann eine Gleichung, in der nur noch $x$ vorkommt. Dann bestimmst Du alle Lösungen $x$ dieser Gleichung und hast dann wegen $x = y$ auch gleich die zugehörigen y-Werte.

Viele Grüße
Yokozuna

Satschy aktiv_icon

11:54 Uhr, 06.08.2015

Oh Mann, ja klar :-)
Irgendwie hat mich das so verwirrt, dass die Antwort so leicht ist, dass ich gar nicht mehr weitergedacht habe. Eigentlich ist das ja ne Schema-F-Aufgabe. Lokales Minimum ist also bei $P (0,5 | 0,5)$

Yokozuna aktiv_icon

11:57 Uhr, 06.08.2015

Du hast irgendwo einen weiteren stationären Punkt $(0 | 0)$ verloren (ich vermute mal, weil Du die Gleichung durch $x$ dividiert hast).

Satschy aktiv_icon

16:05 Uhr, 06.08.2015

Den hab ich nicht verloren, sondern weggelassen. Gefragt sind ja die lokalen Extrema und der Ursprung ist nur ein stationärer Punkt. Stimmt das nicht?

Vielen Dank für eure Mühe :-)

DrBoogie aktiv_icon

16:15 Uhr, 06.08.2015

"Gefragt sind ja die lokalen Extrema"

Oben steht bei Dir noch "gesucht sind die stationären Punkte". :-O

Satschy aktiv_icon

16:33 Uhr, 06.08.2015

Oops, hab ich mich verschrieben ;-)

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