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Stationäre Punkte bestimmen

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen, stationäre punkte

lilliputs

19:54 Uhr, 03.02.2011

Hallo an alle!

Ich bräuchte mal eure Hilfe, bin gerade am verzweifeln...

Also folgende Aufgabe:

Finden sie alle stationären Punkte von

f (x, y) = 4 x^{2} + 4 y^{2} + x^{4} - 6 x^{2} y^{2} + y^{4}

So, ich habe zuerst mal die Ableitungen gebildet:

nach

x :

f´(x,y)=

8 x + 4 x^{3} - 12 x y^{2}

nach

y :

f´(x,y)=

8 y - 12 y x^{2} + 4 y^{3}

die muss man ja jetzt Null setzen, um dann die Punkte zu bekommen...
mein Problem dabei ist jetzt, wie ich auf die diese Punkte komme, da ja in jeder der beiden Ableitungen jeweils

x

und

y

vorkommen. Also auch mit ausklammern geht es nicht:

bei der Abl. nach

x z . B . : 0 = y (2 - 3 x^{2} + y^{2}),

da wäre jetzt ja zum Einen

y = 0

aber wie bekomme ich den Klammerausdruck zu 0?

Oder gibt es noch einen anderen Weg das zu lösen?

Versteht ihr mein Problem??? Etwas kompliziert beschrieben das Ganze...

Ich hoffe trotzdem ihr könnt mir schnell helfen! Bitte!!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

21:28 Uhr, 03.02.2011

Hallo,

zu lösen sind noch die Fälle:

2 + x^{2} - 3 \cdot y^{2} = 0

2 - 3 \cdot x^{2} + y^{2} = 0

x^{2} = 3 \cdot y^{2} - 2

y^{2} = 3 \cdot x^{2} - 2

x = \pm \sqrt{3 \cdot y^{2} - 2};

keine reelle Lösung für

| y | < \sqrt{\frac{2}{3}} \Rightarrow

keine Lösung für

y = 0

y = \pm \sqrt{3 \cdot x^{2} - 2};

keine reelle Lösung für

| x | < \sqrt{\frac{2}{3}} \Rightarrow

keine Lösung für

x = 0

Damit folgt:

f_{x} = 0

für

x = 0

und für

y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{3} + \frac{2}{3}}

f_{y} = 0

für

y = 0

und für

y = \pm \sqrt{3 \cdot x^{2} - 2}

1. Lösung

x = 0

und

y = 0

2. Lösung

x = 0

und

y = \pm \sqrt{3 \cdot x^{2} - 2};

wie oben gezeigt, keine Lösung

3. Lösung

x = \pm \sqrt{3 \cdot y^{2} - 2}

und

y = 0;

wie oben gezeigt, keine Lösung

4. Lösung

x = \pm \sqrt{3 \cdot y^{2} - 2}

und

y = \pm \sqrt{3 \cdot x^{2} - 2}

x^{2} = 3 \cdot y^{2} - 2

und

y^{2} = 3 \cdot x^{2} - 2

\Rightarrow y^{2} = 3 \cdot (3 \cdot y^{2} - 2) - 2 = 9 \cdot y^{2} - 8 \Rightarrow 0 = 8 \cdot y^{2} - 8 \Rightarrow y^{2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1

\Rightarrow x^{2} = 3 \cdot 1 - 2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1

Alle Lösungen des Gleichungssystems sind

(0; 0), (- 1; - 1), (- 1; 1), (1; - 1)

und

(1; 1)

lilliputs

21:45 Uhr, 03.02.2011

Vielen Dank für die Antwort!!!!
Hat mir echt gut geholfen, habs jetzt endlich verstanden!!!
Dankeschön!

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