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Statistik Aufgabe

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Abhängigkeit, Würfel, Zufallsvariablen

Moon13 aktiv_icon

08:53 Uhr, 06.01.2021

Hallo!

Folgende Aufgabe:

Wir werfen einen fairen Wurfel zweimal. Sei

X_{1}

die Augenzahl des 1. Wurfes und

X_{2}

die Augenzahl des zweiten Wurfes. Wir betrachten die beiden Zufallsvariablen

X = X_{1} + X_{2}

und

Y = X 1

. Sind

X

und

Y

stochastisch abhängig oder unabhängig?
Begründung.

Ich würde sagen

X

und

Y

sind abhängig, da

Y

eine Teilmenge von

X

ist. Man könnte auch zeigen das

P (X

∩

Y)

≠

P (X) \cdot P (Y)

ist aber ich bin mir nicht sicher, was für Werte ich dafür benutzen muss. Hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

08:57 Uhr, 06.01.2021

"Ich würde sagen X und Y sind abhängig, da Y eine Teilmenge von X ist."

Das kann man überhaupt nicht sagen, denn diese Aussage ist sinnlos.

Y

kann keine Teilmenge von

X

sein, weil es gar keine Mengen sind.

"Man könnte auch zeigen das P(X ∩ Y) ≠ P(X)⋅P(Y) ist aber ich bin mir nicht sicher, was für Werte ich dafür benutzen muss."

Genau so musst du es machen. Aber welche Werte man nehmen soll, ist nicht von vornhinein bekannt, da musst du einfach bisschen rumprobieren.

Moon13 aktiv_icon

09:09 Uhr, 06.01.2021

Würde folgendes Beispiel so passen?

X = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Y = {1,2,3,4,5,6}

P (X

und

Y) = \frac{5}{36}

P (X) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6}

P (Y) = \frac{1}{6}

Also

P (X) \cdot P (Y) = \frac{1}{18}

≠

\frac{5}{36}

DrBoogie aktiv_icon

09:21 Uhr, 06.01.2021

X

und

Y

sind Zufallsvariablen bei dir. Es daher absolut sinnlos

P (X)

und

P (Y)

zu schreiben. Das sind keine Mengen!!!
Du musst

P (X = k)

bzw.

P (Y = m)

für einige

m, k

durchprobieren.

Moon13 aktiv_icon

09:49 Uhr, 06.01.2021

Also kann ich spezifische Beispiele machen wie:

P (X = 4) = X_{1} + X_{2} = (1 + 3), (3 + 1), (2 + 2) = \frac{3}{36}

P (Y = 2) = X_{1} = 2 = \frac{1}{6}

P (X = 4

∩

Y = 2) = \frac{1}{36}

P (X = 4) \cdot P (Y = 2) = \frac{3}{36} \cdot \frac{1}{6}

Tut mir leid, falls ich es immernoch falsch aufschreibe oder dem falschen Prinzip folge

\frac{:}{}

DrBoogie aktiv_icon

09:54 Uhr, 06.01.2021

Ja, du schreibst es immer noch total falsch auf.
Z.B. die erste Zeile:

P (X = 4) = X 1 + X 2 = (1 + 3), (3 + 1), (2 + 2)

Hier ist

P (X = 4)

eine Zahl,

X_{1} + X_{2}

eine Zufallsvariable und

(1 + 3), (3 + 1), (2 + 2)

ein Menge.
Das sind drei grundsätzlich unterschiedliche Objekte, da können keine

=

dazwischen stehen.
Verstehst du überhaupt, was eine Zufallsvariable ist?

HAL9000

11:00 Uhr, 06.01.2021

Die ausgerechneten Werte von Moon13 sind an sich richtig, aber bei der verwendeten Symbolik stehen einem tatsächlich die Haare zu Berge. Die erste Formelzeile ist vermutlich in dem Sinne

P (X = 4) = P (X_{1} + X_{2} = 4) = P ((X_{1}, X_{2}) \in {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}) = \frac{3}{36}

gemeint - so wird ein Schuh draus.

In der zweiten Zeile fehlt wohl lediglich ein Klammerpaar, d.h.

P (Y = 2) = P (X_{1} = 2) = \frac{1}{6}

.

----------------------------------------

Ich hätte übrigens ein einfacheres Beispiel gewählt, wo die Werte einzeln möglich sind, in Kombination aber nicht, wie etwa

P (X = 2) = \frac{1}{36}, P (Y = 6) = \frac{1}{6}, P (X = 2, Y = 6) = 0

Moon13 aktiv_icon

11:17 Uhr, 06.01.2021

Vielen lieben Dank! Stimmt, dein Beispiel ist natürlich leichter und anschaulicher. Danke für die hilfreichen Antworten, schätze es sehr! Und entschuldigt mich nochmal wegen der falschen Schreibweise.

Liebe Grüsse.

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