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Statistik Aufgaben und Lösungen

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Erwartungswert

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Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, test, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Nasryn aktiv_icon

16:56 Uhr, 15.07.2020

Hallo Zusammen,

Im Anhang sind die Aufgaben zu finden. Ich habe die Aufgaben gelöst, jedoch bin ich mir teilweise unsicher mit den Lösungen, daher woollte ich Fragen, ob jemand drüber schauen könnte und mir sagen könnte, ob ich alles richtig gemacht habe.

Zu

1 .)

Zum besseren Verständnis habe ich zu der Aufgabe ein Programm geschrieben und mir die Verteilung plotten lassen (Siehe Anhang). Die Wahrscheinlichkeit berechne ich mit

h (a) = \frac{m}{n},

wobei

m

gleich der Anzahl der relativen Häufigkeiten ist und

n

die Gesamtanzahl. Daher bekomme ich für

P (X = 5) = \frac{3}{10} = 0.3

eine Wahrscheinlichkeit von

30 %

raus. Den Erwartungswert habe ich ganz einfach berechnet und zwar indem ich

\sum_{i = 0}^{n} = x_{i} \cdot m = 5,3 \Rightarrow m

ist dabei die relative Häufigkeit und

x_{i}

der jeweilige Wert in der Verteilung,

z . B

. 3 oder 4
Die Varianz habe ich berechnet mit der Formel Var(X)=

E (X^{2}) - E {(X)}^{2} = (\sum_{i = 0}^{n} = x_{i}^{2} \cdot P (X = x_{i})) - {5,3}^{2} = 2,01

2 .)

Hier hatte ich folgende Überlegungen und zwar wusste ich das ich eine Normalverteilung habe, daher muss ich meine Verteilung nur anpassen, wenn die Anzahl an Personen Überhalb meines Wertebereiches liegt. Wenn beispielsweise meine Verteilung sagt es haben von

10

Personen, 5 Personen einen IQ von

100,

dann würde ich diesen nur annpassen, wenn 6 Personen einen IQ von

100

hätten. (Ich hoffe die Annahme ist richtig?)
Ich bin wie folgt vorgegangen. Da ich meinen Mittelwert und meine Standartabweichung gegeben habe, habe ich meine Normalverteilung auf die Standartnormalverteilung transformiert und die Wahrscheinlichkeiten für

90 (110), 95 (105)

und

100

berechnet. Annahnd der Wahrscheinlichkeitne kann ich berechnen wieviele Personen maximal einen bestimmten IQ aufweisen dürfne, bevor ich meine Verteilung anpassen muss.
Rechnung:
Für

90 (110) :

z = \frac{x - u}{o} = 90 - \frac{100}{10} = - 1 \Rightarrow θ (- 1) = 1 - θ (1) = 1 - 0,84134 = 0,15866

\Rightarrow 10 \cdot 0,15866 = 1,5 \Rightarrow

Wenn mehr als

1,5

Personen einen IQ

\leq 90

oder

\geq 110

haben muss die Verteilung angepasst werden

für

95 (105) :

Analog zu oben

\Rightarrow

Ergebnis

= 0,3085 \Rightarrow

Wenn mehr als 3 Personen eine IQ

\leq 95

oder

\geq 105

für

100 :

Analog zu oben

\Rightarrow

Ergebnis

= 0.5 \Rightarrow

Wenn mehr als 5 Personen einen IQ von

100

haben.

Ich hoffe meine Berechnungen und Ansätze sind richtig.

Viele Grüßse

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

06:29 Uhr, 16.07.2020

"Anzahl der relativen Häufigkeiten"

Relative Häufigkeit ist eine Zahl zwischen

0

und

1

, daher gibt's keine " Anzahl der relativen Häufigkeiten".

Auch hier darfst du so nicht schreiben:
"Den Erwartungswert habe ich ganz einfach berechnet und zwar indem ich ∑i=0n=xi⋅m=5,3⇒m ist dabei die relative Häufigkeit".

m

ist wiederum keine relative Häufigkeit. Und es muss sowieso

m_{i}

stehen, es ist nicht derselbe Wert für alle

x_{i}

.

Die Berechnung in 1 sind ok.

DrBoogie aktiv_icon

06:35 Uhr, 16.07.2020

Auch hier ist nicht klar, was du meinst.

"Wenn beispielsweise meine Verteilung sagt es haben von 10 Personen, 5 Personen einen IQ von 100, dann würde ich diesen nur annpassen, wenn 6 Personen einen IQ von 100 hätten. (Ich hoffe die Annahme ist richtig?)"

Meinst du, 6 Person haben exakt den Wert von 100? Und warum ist es schlimm? Bzw. warum ist es nicht schlimm, wenn nur 5 exakt diesen Wert haben? Das ist überhaupt nicht klar.

Was die Bezeichnungen wie

90 (100)

bedeuten, ist auch nicht klar.

Was den Ansatz an sich angeht, ist es ohne Hintergrundwissen schwer zu sagen, was denn erwartet wird. Normalerweise geht es bei solchen Fragen um den Anpassungstest wie z.B. Kolmogorov-Smirnov.
de.wikipedia.org/wiki/Anpassungsg%C3%BCte#Anpassungstests
Aber es könnte sein, dass auch die Überlegung mit Quantilen reicht, die du hier vermutlich anzustellen versuchst.

Nasryn aktiv_icon

02:03 Uhr, 21.07.2020

Da wir noch keine Anpassungstests hatten (soweit ich das weiß) und die Aufgabe zur Einführung in die Statistik gedacht ist, denke ich mal das es einen einfachen weg geben muss um die Aufgabe zu lösen. Wie würde ich das denn vernünftig rechnen mit den Quartilen?

Da es weniger als

30

Stichproben sind, könnte da nicht die t-Verteilung genutzt werden?

DrBoogie aktiv_icon

08:07 Uhr, 21.07.2020

Ich sehe nicht, warum man t-Verteilung nutzen soll.

Wie man hier durch Quantile etwas prüfen kann, ist mir nicht klar.
Wenn man richtige Tests wie Kolmogorow-Smirnow, Shapiro-Wilk usw. nicht kennt, kann man aus meiner Sicht nur prüfen, ob der Mittelwert der Stichprobe nicht zu weit weg von

100

liegt.
Der Mittelwert ist normalverteilt mit

μ = 100

und

σ = \sqrt{10}

Nasryn aktiv_icon

17:06 Uhr, 21.07.2020

Okay, ich danke dir für deine Hilfe.

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