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Statistik / Schwankungsintervalle

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

bigfishyy aktiv_icon

12:06 Uhr, 14.03.2015

Ok hi leute,

ich tue mich gerade verdammt schwer mit einer Aufgabe und finde dazu im Internet einfach nichts gutes, dass mir weiterhilft!

Lernziel:
Mit Schwankungsintervallen umgehenkönnen.
Für dieZufallsvariable

X

gelte

E (X) = 1.600

und

V (X) = 100

. Wie groß sindErwartungswert μ und Varianz σ² der Zufallsvariablen

Y = 3 X

? Bestimmen Sie für

Y

den 2-Sigma-Bereich um den Erwartungswert. Wie groß ist mindestens die Wahrscheinlichkeit, dass eine Realisation von

Y

in dieses Intervall fällt? Bestimmen Sie das zentrale Schwankungsintervall, in das eine Realisation von

Y

mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens

90 %

fällt.

Probleme habe ich mit "mindestens die Wahrscheinlichkeit dass Realisation von

Y

in dieses Intervall fällt. Ich habe absolutely no clue what to do here und jede hilfe wäre Welten wert. Um weitere Probleme zu ersparen, die letzte Aufgabe vielleicht ebenfalls einen Tipp schonmal

. .

. ich vermute beide Aufgaben haben mit Tscher.. Ungleichung zu tuen oder so

Ich habe die End-Lösung vor mir, hilft mir aber leider nicht, wenn ich nicht weiß wie man darauf kommt!

Danke für die hilfe.

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18:48 Uhr, 14.03.2015

Also hochgradig kompliziert ist diese Aufgabe nicht!
Das Thema Tschebyscheff-Ungleichung hast Du sehr richtig erkannt!
Du solltest Dich einfach mal mit dieser Ungleichung beschäftigen/anfreunden, wozu diese Aufgabe auch dient.

Zunächst:
Was ist

E (Y)

und

V (Y)

?
Was ist dann dieser 2-sigma-Bereich?
Jetzt wäre einfach nur die Tschebyscheff-Ungleichung darauf anzuwenden.

She-Ra aktiv_icon

20:44 Uhr, 14.03.2015

Hallo,

darf ich mitmachen? Also vielleicht so zum vergleichen, ich hab das so gemacht...

Zu 1)

E (Y) = E (3 X) = 3 * E (X) = 3 * 1600 = 4800, V A R (Y) = V A R (3 X) = 3^{2} * 100 = 900

Zu 2) 2-sigma- intervall bestimmen

P (μ - 2 σ \leq y \leq μ + 2 σ)

\leftrightarrow P (4800 - 2 * 900 \leq y \leq 4800 + 2 * 900)

\to [3000; 6600]

Zu 3) ich überlege, ob man mit Tschebyscheff machen muss oder vielleicht so

P (∣ \overline{Y} - E (Y) ∣ < ε) \geq 1 - α

Und dann weiter umformen, meine Sicherheit ist ja gegeben also

1 - α = 0, 9

...

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20:57 Uhr, 14.03.2015

E (Y)

und

V (Y)

sind richtig, aber

σ

ist doch nicht

900,

sondern

\sqrt{900}

.
Danach sollte man die Tsch.-Ungl. anwenden, da über die Verteilung von

X

und

Y

nichts bekannt ist (außer Erwartungswert und Varianz).

She-Ra aktiv_icon

21:06 Uhr, 14.03.2015

Jetzt warst du schneller, ja genau natürlich ist sigma die Wurzel aus meiner Varianz -.-

Also 2-sigma-intervall ist dann [4740; 4860]

Ja bei 3) muss ich auch noch mal überlegen, da muss ich noch ein bisschen rumfummeln :-)

Der andere Mensch scheint nicht mehr interessiert zu sein...

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21:12 Uhr, 14.03.2015

\sqrt{900} \neq 60

;-)

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21:15 Uhr, 14.03.2015

Ach sorry, stimmt ja doch:

2 \cdot \sqrt{900} = 60

She-Ra aktiv_icon

22:07 Uhr, 14.03.2015

Hmm irgendwie komme ich grad nicht weiter bzw drehe mich im Kreis....

Also

P (∣ Y - E (Y) ∣ \geq ε) \leq \frac{V a r (Y)}{ε^{2}}

\leftrightarrow P (∣ Y - E (Y) ∣ < ε) \geq 1 - \frac{V a r (Y)}{ε^{2}}

\leftrightarrow P (∣ Y - 4800 ∣ < 60) \geq 1 - \frac{900}{3600}

Hast du das auch ungefähr so oder was ganz anderes? Ich weiß grad nicht wo ich hier die 90%
einbauen soll -.-

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23:00 Uhr, 14.03.2015

DU hast damit jetzt die Antwort auf die Frage gegeben:
"Wie groß ist mindestens die Wahrscheinlichkeit, dass eine Realisation von

Y

in dieses Intervall fällt?"

Die letzte Frage erfordert dann nochmal die Anwendung der Tschebys.-Ungl.

0,9

ist jetzt die rechte Seite und das

ε

ist gesucht!

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09:03 Uhr, 15.03.2015

Äh diese Anmerkung "die letzte Frage erfordert dann noch mal die Anwendung der Tschebyscheff ungleichung " verstehe ich nicht -.-, das ist doch Tschebyscheff was ich oben gemacht hab oder ist das nur sein Bruder oder Schwester -.-

Also vielleicht meinst du das so?

P (∣ Y - E (Y) ∣ \geq ε) \leq 0, 9

\leftrightarrow P (\frac{∣ Y - E (Y) ∣}{σ} \geq \frac{ε}{σ}) \leq 0, 9

= 2 * φ (\frac{ε}{30}) - 1 \leq 0, 9

= φ (\frac{ε}{30}) \leq 0, 95

= \frac{ε}{30} \leq X_{0, 95}

\leftrightarrow \frac{ε}{30} \leq 1, 64 (w e r t a b l e s e n)

\leftrightarrow ε \leq 30 * 1, 64

ε \approx 49

.....

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09:51 Uhr, 15.03.2015

Ich wollte nur klar machen, dass es sich um verschiedene Aufgabenteile handelt!

"Wie groß ist mindestens die Wahrscheinlichkeit, dass eine Realisation von

Y

in dieses Intervall fällt?"
Diesen Teil hast Du oben gelöst.

"Bestimmen Sie das zentrale Schwankungsintervall, in das eine Realisation von

Y

mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens

90 %

fällt. "
Dafür bist Du jetzt offensichtlich von einer Normalverteilung ausgegangen, oder?
Davon ist aber nichts bekannt! Hier bleibt wieder nur die Anwendung der Tsch.-Ungl.

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10:04 Uhr, 15.03.2015

Hmm keine Ahnung... Was ich bei teil 2 machen soll... Vielleicht komme ich noch drauf aber egal, hab eh keine ZEIT mehr, ich muss jetzt weiter lernen...

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10:12 Uhr, 15.03.2015

P (| Y - E (Y) | < ε) \geq 1 - \frac{σ^{2}}{ε^{2}}

Jetzt ist das

ε

so zu bestimmen, dass auf der rechten Seite

0,9

heraus kommt.
Also

1 - \frac{σ^{2}}{ε^{2}} = 0,9

nach

ε

auflösen!

Ob bigfishyy jetzt wohl sauer ist, dass wir seine Aufgabe gelöst haben? ;-)

She-Ra aktiv_icon

10:25 Uhr, 15.03.2015

Achso ja ich wusste nicht wie ich das aufschreiben soll, damit diese 0,9 rauskommt also ist

ε = 300

hast du das auch?

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11:24 Uhr, 15.03.2015

Nein, da hast Du Dich verrechnet!

She-Ra aktiv_icon

11:34 Uhr, 15.03.2015

Ja hatte jetzt ne Null zu viel, da kommt jetzt natürlich was unschönes raus

ε = 30 * \sqrt{1} 0

.... Ok reicht für heute :-)

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