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Steckbrieb- bzw. Trassieraufgabe im 3 Dimensionale

Universität / Fachhochschule

Tags: da ich im Internet keine Aufgaben in diesem Stiel finde, habe ich versucht mir selbst Lösungsansätze zu überlegen.

 
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PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

15:41 Uhr, 16.01.2022

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1. Leichte Aufgabe (zum Einstieg)
Fläche definieren zwischen 4 Punkten:
A: (0,0,0)
B: (5,0,0)
C: (0,5,0)
D: (5,5,3)
Lösung inkl. Graph (türkis) siehe Anhang -> das war noch kein Problem

2. Aufgabe (hier habe ich das Problem)
Die gleichen Punkte wie oben - jetzt aber mit den Zusatzbedingungen, dass die
Fläche an allen 4 Punkten horizontal weiter laufen soll.
Also die Steigungen jeweils 0 sein sollen.
(siehe Skizze und Lösungsansatz anbei)

Ich bin hier davon ausgegangen, dass ich neben den 4 Punkten 4 weitere Nebenbedingungen
(partielle Ableitungen = 0) habe (-> siehe Skizze)
Da ich für die Steigungen an den jeweiligen Punkten (B,C,D,) ein Polynom 3ten Grades brauche,
habe ich mit der Grundfunktion x^2y bzw. xy^2 als höchste Potenzen gearbeitet.
Also:
f(x,y)=ax^2y+bxy^2+cx^2+dy^2+exy+fx+gy+h

Das führte dann zu einem LGS mit 8 Unbekannten und 8 Gleichungen
Wobei sich h=0 ergibt => 7 Unbekannte mit 7 Gleichungen
Leider ergaben dann die Lösungen der Parameter aus dem LGS in die
Grundfunktion eingesetzt "Müll" :-(
Siehe Graph (lila)

Bin ich hier total auf dem Holzweg???
Kann mir jemand sagen wie ich die Grundfunktion (höhe der max. Potenzen, bzw. welche Terme kann man weglassen) richtig bestimme.
Wie geht man solche Probleme richtig an?
Gibt es hierzu Lernvideos?

Danke euch im Voraus

Bernd

Aufgabe 1
Aufgabe 1 Graph
Aufgabe 2
Aufgabe 2 Graph falsch

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Roman-22

Roman-22

17:58 Uhr, 16.01.2022

Antworten
Da offenbar an vier Stellen eine waagerechte Tangentialebene vorliegen soll, wird man wohl eher eine Polynomfunktion vierten Grades benötigen 15 Parameter.
Außerdem liefert jede Stelle mit waagerechter Tangentialabene ja zwei zusätzliche Bedingungen, da ja beide partiellen Ableitungen Null sein sollen 12 Bedingungen.

Man könnte, da die Angabepunkte symmetrisch in xy sind das gleiche auch von f(x,y) fordern, womit man nur mehr 9 Parameter hätte und, da man jetzt ja auch einen Punkt ignorieren kann/muss, auch nur mehr 9 Bedingungen.
PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

18:35 Uhr, 16.01.2022

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Erstmal danke.

OK Polynom 4ten Grades,
Somit kommen zu meinen bisherigen 8 Parametern aber doch weitere 8 hinzu -> 16 oder?
x^3y^3, x^3y2, x^2y3, x^2y^2, x^3y, xy^3, x^3, y^3
=16 ?

12 Bedingungen ist mir (denke ich) klar.
4 Punkte + 2 partielle Ableitungen je Punkt (in x und y) = 12 Bedingungen

Sorry aber deinen letzten Satz mit der Symmetrie und ein Punkt zu ignorieren hab ich gar nicht verstanden :-(

Bernd

Antwort
pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

22:06 Uhr, 16.01.2022

Antworten
Einen Polynom 4. Grades :

z(x,y)=ax4+bx3+cx2+dx+ey4+fy3+gy2+hy+kx3y+lx2y2+mxy3+n

könnte man so ansetzen ...

Aus z(0,0)=0folgt n=0
wäre schon mal eine gelöst.

Wegen der Symmetrie ergibt sich a=e ; b=f ; c=g ; d=h

Nun die partiellen Ableitungen betrachten:

zx(0,0)=0

ergibt für d=0 und also auch h=0

Jetzt bleiben nur noch 6 Parameter übrig - das ist nun eine kleine Fleißaufgabe ...

PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

22:46 Uhr, 16.01.2022

Antworten
Danke das sieht ja sehr vielversprechend aus.
Werde die "Fleißaufgabe" asap in Angriff nehmen.
(Wobei das sicher für mich keine kleine Fleißaufgabe werden wird :-)

Mich würde jetzt noch sehr interessieren, wie du auf den Ansatz kommst.
du hast ja etliche mögliche Polynomteile weggelassen (z.B. x^4y^3, x^3y^3, ...)
Und du hast x^4, y^4 noch dazu gepackt.
Wie kommt man darauf???
Antwort
Roman-22

Roman-22

23:52 Uhr, 16.01.2022

Antworten
> OK Polynom 3ten Grades,
NEIN! Ich habe doch begründet, warum man mindestens ein Polynom vierten Grades benötigt!

> Somit kommen zu meinen bisherigen 8 Parametern aber doch weitere 8 hinzu 16 oder?
Keine Ahnung was du meinst. Ein Polynom mit Maximalgrad vier hat idR 15 Summanden und somit auch nur 15 Parameter. Aber das hatte ich ja ebenfalls bereits geschrieben!

>x3y3,x3y2,x2y3,x2y2,x3y, xy^3, x3,y3
>=16?
?????
Du scheinst, wie ich auch deiner Antwort auf pleindespoir entnehme, eine falsche Vorstellung vom Grad eines Polynoms in zwei Variablen zu haben!
Ein Summand wie x2y3 ist vom Grad fünf!! Es zählt die Summe der Exponenten!

>12 Bedingungen ist mir (denke ich) klar.
>4 Punkte +2 partielle Ableitungen je Punkt (x und y)=12 Bedingungen

ja, aber wenn man noch Symmetrie fordert (weil die Angabe ja auch so schön symmetrisch in x und y ist, man also beliebig x und y vertauschen kann), dann führt das auf eine Funktion mit nur neun Parametern.
Allerdings reduziert sich damit auch die Anzahl der Bedingungen, sodass man immer noch auf ein unterbestimmtes Gleichungssystem mit zwei Freiheitsgraden kommt.

> Sorry aber deinen letzten Satz mit der Symmetrie und ein Punkt zu ignorieren hab ich gar nicht verstanden :-(
Wenn du f(x,y) symmetrisch in x und y ansetzt (also gleiche Koeffizienten zB für x3y und xy3, etc.), dann liefert etwa der Punkt P2(0/5/0) drei Bedingungen (Funktionswert un ddie beiden partiellen Ableitungen), aber der symmetrisch (x und y vertauscht) liegende Punkt P3(5/0/0) liefert nichts Neues mehr. Da die Funktion in x und y symmetrisch angesetzt wurde, liegt im Punkt P3 automatisch die gleiche Situation vor wie in P2. Man kann und muss daher den Punkt P3 im Ansatz außer Acht lassen.


Hier eine mögliche Lösung mit dem von mir vorgeschlagenen Ansatz:
B


Aber wie gesagt ist das keinesfalls die einzige Lösung. Man hat zwei Freiheitsgrade - zB kann man p5 und p6 frei wählen. nachstehend ein Beispiel, welches ebenfalls alle geforderten Bedingungen erfüllt:
B2

oder auch
B3


PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

19:27 Uhr, 17.01.2022

Antworten
Hallo Roman 22,
vielen Dank und meinen aller größten Respekt.

Klasse Lösung und dazu noch super erklärt.
Habe jetzt verstanden:
- warum ich Polynom 4ten Grades brauche
- wie sich der Polynomgrad bei mehrdim. Funktionen bildet
- wie man die Symmetriebedingung nutzen kann

Allderdings habe ich jetzt eine weiter Frage:
1. Rechnen mit unterbestimmtem LGS: (9 Parameter <-> 7 Gleichungen)
Mir ist das noch aus der Vektorrechnung bekannt, z.B. beim Schneiden von 2 Ebenen ergibt sich ja i.d.R. eine Schnittgerade
-> hier mache ich eine Variable zum Parameter und bekomme eine Geradengleichung
Aber leider konnte ich nicht nachvollziehen, wie du das hier gemacht hast.
Könntest du mir da auch noch auf die Sprünge helfen?
Außerdem kann mein Rechner mit sowas auch nicht umgehen :-(

P.S.
Da ich das Thema hoch interessant finde, hätte ich gerne mehr Übung dazu.
Hättest du mir hierzu evtl. links (Videos, oder Musteraufgaben + Lösung) zur Verfügung?

Und sorry, dass ich dich so löchere... :-)

Danke Bernd
PapaBarny

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19:27 Uhr, 17.01.2022

Antworten
sorry doppelt
Antwort
Roman-22

Roman-22

23:52 Uhr, 17.01.2022

Antworten
> Aber leider konnte ich nicht nachvollziehen, wie du das hier gemacht hast.
Nun, du siehst im Bild im Wesentlichen alles, was ich gemacht hatte. Anders gesagt, ich habe mein Programm machen lassen.
Wie du "zu Fuß" unterbestimmte Gleichungssysteme löst hängt davon ab, wie du normalerweise Gleichungssystem löst. Irgendwann ergibt sich eben der eine oder andere Freiheitsgrad, also eine Variable, die du frei wählen kannst.
Im Screenshot
B
siehst du ja, dass von den neun Parameters (p0 bis p8) nur drei fest sind. Nämlich p1=-6625, der Koeffizient von x3y und xy3, sowie p7=p8=0. p8=0 ist klar, schließlich soll die Fläche den Ursprung enthalten und dass der Koeffizient von x und y Null ist folgt aus der Forderung, dass im Ursprung die partiellen Ableitungen Null sein sollen. Diese drei Parameter sollten also bei jeder Rechnung entsprechend rauskommen. Welche Werte man aber als frei wählbare Parameter nimmt, ist variabel. Das müssen nicht zwangsläufig p5 und p6 sein.
Wenn du mit dem Gleichungssystem noch Probleme hast, weil es unterbestimmt ist und nicht eine einzige, eindeutige Lösung hat, hilft dir sicher eine Internetsuche mit den Schlagwörtern "Lösen unterbestimmtes Gleichungssystem" weiter.

> Da ich das Thema hoch interessant finde, hätte ich gerne mehr Übung dazu.
> Hättest du mir hierzu evtl. links (Videos, oder Musteraufgaben + Lösung) zur Verfügung?
Da kann ich leider nicht weiter helfen. Ich hab sowas auch noch nie gemacht und mir sind auch keine Quellen für ähnlichen Aufgaben bekannt.
Wo kommt sowas denn in der Praxis vor bzw. wie kommst du zu der Aufgabe? Handelt es sich wirklich um ein reales Trassierungsproblem, wie deine Verschlagwortung angibt? in dem Fall vermute ich stark, dass man in der Praxis eher keine Polynomfunktionen heranzieht. So, wie man im zweidimensionalen Fall wohl auch keine Parabeln (evt. höherer Ordnung) im Straßenbau verwendet, sondern eher mit Klothoiden modelliert.

Frage beantwortet
PapaBarny

PapaBarny aktiv_icon

00:34 Uhr, 18.01.2022

Antworten
Nee du hast recht - hat keine reale Bedeutung

Also danke noch mal an euch beide
War für mich sehr interessant und hat mir weiter geholfen!!!

Bernd
Antwort
Roman-22

Roman-22

04:35 Uhr, 18.01.2022

Antworten
Eine kleine Anmerkung zum Ansatz von pleindespoir:
Er hat (aus mit unerfindlichen Gründen und vl war es auch nur ein Fehler) die Terme mit x2y, xy^2 und xy in seinem Ansatz weggelassen. Das entspräche mit meiner Parameterbezeichnung, dass er p4=p6=0 setzt. Die vorhon nochmals angegeben Lösung zeigt aber, dass nicht beide, p4 und p6 gleichzeitig Null sein können.
Daher wird der Ansatz wohl leider auf keine Lösung, sondern einen Widerspruch führen.