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Steckbrief - gebrochen rationale Funktion

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Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Funktionentheorie, polynom

 
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VonNullaufHundert

VonNullaufHundert aktiv_icon

14:17 Uhr, 06.01.2013

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hallo alle zusammen!

ich habe ein problem undzwar, wenn ich eine Asymptote, MEHRERE Nullstellen und polstellen gegeben habe, soll ich daraus eine dazu passende rationale Funktion bauen, auf welche die Daten passen.

z.B.: Eine gebrochenrationale Funktion besitzt an den Stellen x1 = -2 und x2 = 5 einfache
Nullstellen und bei x3 = 0 und x4 = 6 (einfache) Pole. Für große x-Werte nähert sie sich
asymptotisch der Gerade y = -2 an.
Durch welche Gleichung lässt sich diese Funktion beschreiben ? Skizzieren Sie den
Funktionsverlauf.

Ich ich sehe : -2 ist die Asymptote, nullstellen könnte ich aus Linearfaktoren zusammen bauen, genauso die Pole. Jetzt kommt der Harken! ich kann ja -2+(Const)/(x(x-6)) bauen, da die Polynomdivision hier ein Ergebnis liefern muss, dessen Rest im Unendlichen gegen 0 gehen muss. Jetzt könnte ich ja einfach eine Nullstelle einbauen und umformen, aber das problem ist, dann beinhaltet die Funktion ja nur eine meiner 2 Nullstellen. Wie kann ich denn Funktionen bauen, die mehrere Nullstelle enthalten?

Danke! MFG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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VonNullaufHundert

VonNullaufHundert aktiv_icon

15:39 Uhr, 06.01.2013

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Weiß niemand Rat? :(
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rundblick

rundblick aktiv_icon

15:50 Uhr, 06.01.2013

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welchen Ansatz hast du denn für Zähler und Nenner? ....

Tipp:
nimm die -2 als Faktor im Zähler dazu - und überlege, warum das funktionieren könnte..



schade, dass du gleich eine Komplettlösung bekommen wirst
(da bleibt dir ja leider nichts mehr zum selber Denken)
Antwort
ARTMath100

ARTMath100 aktiv_icon

15:52 Uhr, 06.01.2013

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Da wir eine zur x-Achse parallele Asymptote haben, gilt:

g r a d ( z ( x ) ) = g r a d ( n ( x ) )

Wir haben 2 einfache Nullstellen der Funktion, also gehen wir von

g r a d ( z ( x ) ) = 2 aus.

wegen asymptote y=-2:

folgender Ansatz:

f ( x ) = 2 ( x + 2 ) ( x 5 ) x ( x 6 )

Die Zähler- und Nennerpolynome werden durch Null- bzw. Polstellen (jeweils einfach) und der Zählerfaktor -2 wird durch die Asymptotengleichung geliefert! Überlege einfach, warum das so ist.

Frage beantwortet
VonNullaufHundert

VonNullaufHundert aktiv_icon

16:02 Uhr, 06.01.2013

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Danke! Der hammer, damit kann ich was anfangen. Ich werds mir überlegen. Das ich zähler und Nenner mit Linearfaktoren darstellen kann wusste ich bereits und hatte ich auch schon getan, nur das mit dem Faktor ist mir neu. Ich werds durchrechnen @rundblick. Danke!
VonNullaufHundert

VonNullaufHundert aktiv_icon

16:09 Uhr, 06.01.2013

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ARTmath100, Kann man deine allgemeine Form irgendwo "grad(z(x))=grad(n(x))" irgendo nachlesen? Würde mich interessieren. MFG
Antwort
ARTMath100

ARTMath100 aktiv_icon

16:47 Uhr, 06.01.2013

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Ja gibt es! Da ich keine Werbung machen darf. Google mal nach ( ...????) Nach was wohl?

VonNullaufHundert

VonNullaufHundert aktiv_icon

19:57 Uhr, 06.01.2013

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Keine Schleichwerbung aber erwähnst Google? :-D) okay. Aber leider nein, weiß nicht was du meinst :-).
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ARTMath100

ARTMath100 aktiv_icon

20:09 Uhr, 06.01.2013

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Nomen est Omen. sagen die Lateiner!!!

PS: "googlen" ist ein Tätigkeitswort seit Paul P. und damit keine Werbung mehr!

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