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Steckbriefaufgabe mit Wendetangente
Schüler Fachschulen, 13. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 14:36 Uhr, 20.02.2007  |
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Hallo, Die Beispiele, die ich im Moment für die bevorstehende Klausur üben muss, laufen alle nach ca. dem selben Schema ab, aber diese Formulierung hatten wir noch nicht durchgemacht und deswegen tu ich mir auch mal wieder schwer, Bedinungen zu finden... Da heißt es: Eine Parabel 4. Odnung mit der Gleichung y= ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e hat in O (0 ; 0) einen Wendepunkt mit der x-Achse als Wendetangente und im Punkt N ( -4 ; 0) einen Schnittpunkt mit der x-Achse. Die Fläche, welche die Kurve mit der x-Achse begrenzt, hat den Flächeninhalt 12,8. Kurve diskutieren. Was sind denn dann die weiteren Bedingungen, außer 1) O element von y 2) N element von y ?? Wär voll nett, wenn ihr mir helfen könntet! ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Thema wurde geändert/ gekürzt auf Steckbriefaufgabe mit Wendetangente -Die Moderation- (Edit des Beitrages: 16:23 20.02.2007) |
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hat in O (0 ; 0) einen Wendepunkt mit der x-Achse als Wendetangente Aus dieser Aussage kannst du verschiedene Bedingungen heraus lesen: 1. Punkt (0|0) ist Punkt des Graphen: f(0) = 0 2. Punkt (0|0) ist ein Wendepunkt: f''(0) = 0 x-Achse ist Wendetangente: Gleichung der x-Achse: g(x) = 0x + 0 = 0 x-Achse hat die Steigung 0, also: f'(0) = 0 |
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Ahh, gut, aber wenn die x-Achse die STeigung 0 hat, warum ist dann f'(0) = 0 ? woher kommt der x und y - Wert? muss ich auch etwas mit dem Integral beachten, wegen dem Flächeninhalt? |
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aber wenn die x-Achse die Steigung 0 hat, warum ist dann f'(0) = 0 ? Weil die x-Achse Tangente im Wendepunkt ist. Also ist die Steigung im Wendepunkt = 0. Also: f'(0) = 0 muss ich auch etwas mit dem Integral beachten, wegen dem Flächeninhalt? Ja, das ist noch eine zusätzliche Bedingung (hat allerdings nichts mit der Wendetangente zu tun) Dafür ist nur wichtig, welche Nullstellen die Funktion hat, nämlich: DAs INtegral über f(x) in den Grenzen der Nullstellen ist = 12,8 Also: (I soll das Integralzeichen ersetzen) I(f(x)dx) = 12,8 |
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Vielen Dank, jetzt hab ich aber noch eine Frage, und zwar bildet N (-4 ; 0 ) einen Schnittpunkt mit der x-Achse? Ich hab jetzt die Gerade ausgerechnet, die be mir lautet: y= 1/4x^4 + 4x^3 Wenn ich aber die Wendepunkte (y'') ausrechne, bekomme ich ein unmögliches ergebnis! 3x^2 + 25x = 0 dabei kommt bei mir für x 1,2 0 und für x3 -8 raus, und dann für y 3024?? Das ist doch komplett falsch! |
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Hallo! Ich verstehe deine Fragen leider nicht so recht... jetzt hab ich aber noch eine Frage, und zwar bildet N (-4 ; 0 ) einen Schnittpunkt mit der x-Achse? Ja, wenn (-4|0) der gegebene Punkt ist, bildet er automatisch einen Schnittpunkt mit der x-Achse, da ja der y-Wert des Punktes 0 ist. Der Punkt liegt also automatisch auf der x-Achse. Ich hab jetzt die Gerade ausgerechnet, die be mir lautet: y= 1/4x^4 + 4x^3 Was soll das für eine Gerade sein? Ist das dein Ergebnis für die Funktion, die du suchst? Wenn ich aber die Wendepunkte (y'') ausrechne, bekomme ich ein unmögliches ergebnis! 3x^2 + 24x = 0 dabei kommt bei mir für x 1,2 0 und für x3 -8 raus, und dann für y 3024?? Das ist doch komplett falsch! Wieso bekommst du hier drei x-Werte raus? ist doch nur ne quadratische Gleichung, die du lösen musst... |
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Sorry hab mich vertippt. Es geht grad um die Diskussion dieser FUnktion. Wenn y = 1/4 x^4 + 4x^3 ist, dnn ist y'' = 3x^2 + 24 x = 0 Wendepunkte: y''= 0 Ich hab das x-rausgehoben, dann kommt bei mir x*(3x+24); Produktnullsatz woraus folgt x1 = 0 oder 3x= -24 , x2 = -8 ?? In die Funktion y eingsetzt kommt für y aber ein extrem falscher wert raus. wieso soll meine Gleichung falsch sein? Außerdem kommt bei meinen Nullstellen nicht der Wert -4 raus, der ja eigentlich auf der Kurve liegen sollte und somit eine Nullstelle wäre.... |
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Prinzipiell ist alles richtig, aber leider ist deine ausgerechnete Funktion falsch! Ich hab' sie jetzt selber auch mal ausgerechnet: Also: Bedingung: 1. f(0) = 0 -> e = 0 2. f'(0) = 0 -> d = 0 3. f''(0) = 0 -> c = 0 4. f(-4) = 0 a*(-4)^4 + b*(-4)^3 = 0 (i) 5. I(f(x)dx) = 12,8 1/5*a*x^5 + 1/4*b*x^4 + 1/3*c*x³ + 1/2*d*x² + ex in den Grenzen von -4 bis 0 = 12,8 führt auf folgende Gleichung: -1/5*a*(-4)^5 - 1/4*b*(-4)^4 = 12,8 (ii) (i) 256a - 64b = 0 (ii) 204,8a - 64b = 12,8 (i) - (ii): 51,2a = -12,8 a = - 0,25 = -1/4 b = -1 Also lautet die Funktion: y = -1/4 x^4 -x³ Findest du deinen Fehler selber oder möchtest du deine Umformungen hier rein setzen zum Korrigieren? |
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Ja bei mir ist auch c,d,e =0. Dann hab ich aber N(-4 ;0) element y: 0= 256a - 64b dann hab ich 64b = 256a so hab ich a und b rausgefunden. Wo liegt mein Fehler? Ich kann ihn nicht finden. Vl kannst du mir helfen? |
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Mir ist noch was eingefallen, warum sind die Grenzen die Koordinaten von N? |
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Hallo! Also, dein Fehler liegt darin, dass du zwar eine Gleichung für a und b raushast, du hast aber die Bedingung 5. mit der Fläche vergessen zu beachten. du kannst beliebig viele Paare finden, die die Gleichung: 64b = 256a erfüllen. Um a und b genau zu bestimmen, musst du Re 7 durcharbeiten, da steht eigentlich alles drin. Die Grenzen des Integrals werden durch die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse festgelegt. Das ist einmal der Schnittpunkt (-4|0) und einmal der Schnittpunkt (0|0) Die beiden x-Werte (-4|0), (0|0) werden als Grenzen genommen, da du ja genau in dem Bereich integrieren willst. Also sind die Grenzen -4 und 0. Es sind also nicht x-Wert und y-Wert von N als Grenzen eingesetzt, sondern die beiden x-Werte der Nullstellen. PS: Eine Anmerkung noch am Rande: Deine Zahlen a und b erfüllen im übrigen die Gleichung 64b = 256a auch nicht... a = 1/4 b = 4 -> 64*4 ist nicht gleich 256*1/4 |
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Ja du hast Recht, ich hab noch mal alles durchgerechnet. Ich verstehe jetzt eigentlich alles, bis auf das mit der Wendetangente. Hast du dazu den Punkt O (0 ; 0) in die Tangentengleichung y= kx + d eingesetzt? Weil dann wäre d= 0 und nicht wie du geschrieben hast 0 = 0x + 0. ABer ansonsten dankeschön! ICh glaub jetzt habe ich das so halbwegs kapiert! |
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Ich hab's oben vielleicht zu kompliziert geschrieben: Was einzig und allein interessant ist, ist die Steigung der Wendetangente, also die Steigung der x-Achse. Die Steigung der x-Achse ist- wie man durch einfaches Anschauen eines Achsenkreuzes erkennen kann = 0 (das rechnet man nicht aus, sondern bekommt man wirklich nur durch Anschauen raus) Also: f'(0) = 0 Ich habe oben dann der Vollständigkeit halber noch ergänzt, wie die Wendetangentengleichung (also die Gleichung der x-Achse) lautet, nämlich: y = 0x + 0 Jede Tangente hat die Form: y = k*x + m (ich hab's umgenannt damit man's nicht mit dem d aus der Funktion verwechselt) k ist die Steigung, die ist bei der x-Achse = 0 Die x-Achse hat also die Form: y = 0*x + m Setzt man (0|0) ein, erhält man m = 0 Also: y = 0*x + 0 y = 0 Wie gesagt: Ich hab's vielleicht zu kompliziert geschrieben, einzig und allein wichtig für die Aufgabe war oben das Fettgedruckte. Alles andere war "Bonusmaterial" und hat dich anscheinend mehr verwirrt als dass es geholfen hat... |
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Es war eigentlich gar nicht soo kompliziert (im Nachhinein), aber trotzdem danke für die Geduld! Jetzt ist mir alles verständlicher, bloß dass ich in der Schle die Form y = kx + m nicht besprochen habe, b.z.w explizit erähnt wurde. Naja, ich kann es mir aber denken. (außer y =kx+d) |
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@sarah Ich glaube nicht, dass Du denken kannst. ... ;-) |
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Ja, denken, das ist so was. Immerhin denk ich soweit, dass es wichtig ist, die Aufgaben auch zu verstehn und das istdoch schon mal ne Leistung.. ;) |
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