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Steckbriefaufgaben (ökonomischer Sachzusammenhang)

Schüler Gymnasium,

Tags: Bedingung

NeoVine aktiv_icon

18:21 Uhr, 16.10.2011

Aufgabe:

Ein Betrieb will die Höhe

G (x)

seines Gewinnes in Geldeinheiten in Abhängigkeit von der Menge

x

der produzierten Mengeneinheit mit Hilfe einer ganzrationalen Polynomfunktion dritten Grades beschreiben. In den letzten Jahren sind folgende Beobachtungen gemacht worden: Die gewinnmaximale Ausbringungsmenge liegt bei 5 ME, die Gewinngrenze beträgt 7 ME. Wird nur eine Mengeneinheit hergestellt, beträgt der Grenzgewinn

36

GE/ME . Wird nichts produziert, so macht der Betrieb

\frac{175}{2}

GE Velust. Stellen sie ein lineares Gleichungssystem auf und zeigen Sie durch dessen Lösung, dass die Gleichung der Gewinnfunktion

G (x) = - x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} + 30 x - \frac{175}{2}

lautet.

Habe folgende Bedingungen ausgestellt :

G' (5) = 0

G (7) = 0

G' (1) = 36

(hier vermute ich den Fehler)

G (0) = - \frac{175}{2}

Wäre nett wenn ihr mir schnell helfen könntet, schreibe am Mittwoch meine Klausur

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

NeoVine aktiv_icon

19:11 Uhr, 16.10.2011

Jemand evt. einen Vorschlag ?

BeeGee aktiv_icon

10:44 Uhr, 17.10.2011

Hallo!

Du hast eigentlich schon alles richtig aufgestellt. Jetzt musst Du nur noch eine allgemeine Funktion 3. Grades aufstellen und Deine Erkenntnisse dort einbauen:

G (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

G' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

Wir haben also 4 Unbekannte und 4 Informationen, die Du oben aufgestellt hast. Aus

G (0) = - \frac{175}{2}

folgt direkt

d = - \frac{175}{2}

G' (5) = 0 \to 3 a \cdot 5^{2} + 2 b \cdot 5 + c = 0

bzw.

75 a + 10 b + c = 0

G (7) = 0 \to 343 a + 49 b + 7 c - \frac{175}{2} = 0

G' (1) = 36 \to 3 a + 2 b + c = 36

Damit haben wir drei Gleichungen für

a, b

und

c :

(I)

75 a + 10 b + c = 0

(II)

343 a + 49 b + 7 c = \frac{175}{2}

(III)

3 a + 2 b + c = 36

Die Lösung des LGS führe ich nicht explizit vor.

Es ergibt sich:

a = - 1

b = \frac{9}{2}

c = 30

Also

G (x) = - x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} + 30 x - \frac{175}{2}

q . e . d

. :-)

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