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Steigung Ableitung

Schüler Berufskolleg,

Tags: Steigung Ableitung

Rocky77 aktiv_icon

19:15 Uhr, 13.02.2014

Als erstes verstehe ich nicht, wie

v =

Geschwindigkeit in Abhängigkeit von s=Steigung stehen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

prodomo aktiv_icon

19:19 Uhr, 13.02.2014

Bei Bergabfahrt erreicht der Radfahrer eine bestimmte Geschwindigkeit, bei welcher die Hangabtriebskraft gleich dem Luftwiderstand ist.

Rocky77 aktiv_icon

19:21 Uhr, 13.02.2014

Sorry, aber ich habe es leider nicht verstanden. Was ist die Hangabtriebskraft hier?

Rocky77 aktiv_icon

19:35 Uhr, 13.02.2014

"Bei Bergabfahrt erreicht der Radfahrer eine bestimmte Geschwindigkeit"

Das habe ich verstanden, aber was hat die Steigung mit auf sich?

"bei welcher die Hangabtriebskraft gleich dem Luftwiderstand ist."

Ich würde das mal so sagen, da es sich um die Mathematik handelt, ist das Physikalische Wissen nicht relevant, für die Lösung der Aufgabe

Rocky77 aktiv_icon

20:25 Uhr, 13.02.2014

kann mir jemannd bei der Aufgabe

c)

und

e)

helfen?

Ma-Ma aktiv_icon

20:36 Uhr, 13.02.2014

"Als erstes verstehe ich nicht, wie

v =

Geschwindigkeit in Abhängigkeit von s=Steigung stehen kann?"

Wenn Du einen Berg hochfährst und der Berg immer steiler wird, so ist geht Dir irgendwann "die Puste aus" und Du musst anhalten

\to

Geschwindigkeit

= 0

bei

S = 20 %

Steigung

20 % = 0,2

b)

Geschwindigkeit bei

10 %

Steigug kannst Du aus dem Diagramm ablesen.

c)

Links der V-Achse

\to

negative Steigung = Gefälle

. .

. es geht bergab

. .

d)

Mittlere Änderungsrate:

v

bei

10 %

Steigung ?

v

bei

20 %

Steigung ?

Mittelwert bilden

. .

Rocky77 aktiv_icon

20:44 Uhr, 13.02.2014

a) b) d)

und

f)

habe ich verstanden und habs auch gemacht

bei

c)

verstehe irgendwas nicht, uns zwar es geht doch schon bei positiver Steigung Bergab (Muss mir das etwas genauer erklären, damit ich das verstehe :-))

Ma-Ma aktiv_icon

20:55 Uhr, 13.02.2014

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Der gezeichnete Graph ist NICHT der Berg.

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Schaue nochmal genau hin.
Steigung

= 0 ... .

. ebener Weg

...

v = 30

Jetzt wird der Berg steiler. Bei

10 %

Steigung ist

v = 25

.
Du wirst also langsamer.

Berg noch steiler. Steigung

= 20 %

. Keine Kraft mehr

. .

v = 0 ... .

. anhalten und absteigen.

- - - - - - - - - - -

Links: Steigung negativ = Gefälle

. .

. es geht bergab und die Geschwindigkeit erhöht sich.

Oder anders herum.
Du startes ganz links. Es geht bergab (Du bist schnell). An dem Punkt, wo die Steigung

= 0

hast Du

v = 30

. Danach geht´s berauf und Du wirst immer langsamer.

Ich wiederhole:
Der gezeichnete Graph ist NICHT der Berg.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Mach doch mal eine Skizze, wie der Berg aussehen könnte

. .

.
Links abschüssig, kleines Tal, dann bergauf

. .

Rocky77 aktiv_icon

21:12 Uhr, 13.02.2014

Super hab die

c)

aber auch die Aufgabenstellung besser jetzt verstanden.

Bei

e)

Wie kann ich die Steigung an der Stelle

s = 10

bestimmen?

Ma-Ma aktiv_icon

21:19 Uhr, 13.02.2014

Tangente an den Graphen bei

S = 10

zeichnen und deren Anstieg bestimmen

(z . B

. durch Zeichnen des Steigungsdreieckes oder Winkel messen, dann

m = tan α .)

Rocky77 aktiv_icon

21:30 Uhr, 13.02.2014

Wie geht das mit

tan a

?
Kurze erklärung bitte?

Ma-Ma aktiv_icon

21:39 Uhr, 13.02.2014

Hast Du die Tangente an den Graphen gezeichnet ?
Welchen Winkel hat die Tangente ?

- - - - - - - - - - - - - - - - -

Beispiel: (Ist jetzt irgendein Winkel.)

α = 20

Grad

m =

Anstieg

m = tan α

m = tan 20

Grad

Jetzt komt der TR zum Einsatz.

m = 0,36

Der Anstieg (lokale Änderungsrate) an meinem Fantasiepunkt beträgt

0,36

Rocky77 aktiv_icon

21:42 Uhr, 13.02.2014

Den Tangente und den Winkel zu berechen, wird schon ungenau.
Kann ich auch mit einem Fantasiewinkel arbeiten?

Ma-Ma aktiv_icon

21:45 Uhr, 13.02.2014

Ja, bei der gegebenen Skizze wird es ungenau. Es geht bei dieser Aufgabe jedoch um das Prinzip.

Also leg mal vor, welchen Winkel bietest Du an ?
Ich schaue dann, ob es größenmäßig passt.

Rocky77 aktiv_icon

21:48 Uhr, 13.02.2014

zwischen

10

und

20

vielleicht?

Ma-Ma aktiv_icon

22:00 Uhr, 13.02.2014

Dein hochgeladenes Bild ist zwar etwas schief, ich würde aber eher auf

20

Grad (oder mehr) tippen.

Jetzt Achtung:
Der Tangentwinkel wird entgegen dem Uhrzeigersinn (ausgehend von der waagerechten) gemessen.

α = 90

Grad

+ 20

Grad

= 110

Grad

m = tan 110

Grad

m = - 2,75

Aufgrund der Lage der Tangente muss der Anstieg (Steigung der Tangente) negativ sein. Passt.
(Die Tangentensteigung hat jetzt nichts mit der der Steigung auf der x-Achse zu tun. Ist zufälligerweise das gleiche Wort für unterschiedliche Aspekte.)

Rocky77 aktiv_icon

22:07 Uhr, 13.02.2014

Unabhängig welche Steigung an der Stelle

10

ist, was genau sagt uns die Steigung aus?

Ma-Ma aktiv_icon

22:15 Uhr, 13.02.2014

Am Anfang hattest Du die MITTLERE Änderungsrate (Tangenten-Steigung) (zwischen 2 Punkten) berechnet.
Nun hast Du die LOKALE (momentane) Änderungsrate an einem bestimmten Punkt ausgerechnet. (Näheres dazu findest Du auch in Deinem Mathebuch.)

Rocky77 aktiv_icon

22:20 Uhr, 13.02.2014

Die mittlere änderungsrate ist doch die sekantensteigung und die momentane Änderungsrate die Tangentensteigung, aber was für eine Bedeutung hat diese Steigung auf die v-Kurve?

Ma-Ma aktiv_icon

22:26 Uhr, 13.02.2014

Kann ich auf Fingerschnips nicht sagen, müsste darüber auch erst nachdenken.
Für´s erste sollte reichen: lokale Änderungsrate (mehr wird von Euch wahrscheinlich auch nicht verlangt).

Rocky77 aktiv_icon

22:31 Uhr, 13.02.2014

Ich denke schon das es abgefragt wird...
Im Lösungsbuch steht etwas von Geschwindigkeitsänderung in

s = 10

beträgt

0,8

km/h, vielleicht hilft dir das, um mir die Unwissenheit zu erklären

Ma-Ma aktiv_icon

22:42 Uhr, 13.02.2014

Mag sein. (Weiter darüber nachdenken mag ich JETZT nicht.)
Dein Mathebuch gibt da sicher noch ein paar weitere Informationen her.

- - - - - - - - - - - - - - -

Nachtrag: Wenn

v' (10) = - 0,8,

so wäre Dein gemessener Winkel ca.

38,66

Grad.

Der Steigungswinkel also

141,34

Grad (basierend auf der waagerechten und im Uhrzeigersinn gemessen).

tan 141,34

Grad

= - 0,8

Rocky77 aktiv_icon

22:52 Uhr, 13.02.2014

das rechnerische ist nicht das wichtigste, sondern das Verständis, um was es sich handelt!

Ma-Ma aktiv_icon

22:58 Uhr, 13.02.2014

v' (10) =

lokale Änderungsrate von

v

bei

x = 10

v' (10) = - 0,8 . .

. Geschwindigkeitsänderung (hier Verlangsamung)
Mehr kann ich Dir dazu auch nicht sagen

...

Ma-Ma aktiv_icon

23:08 Uhr, 13.02.2014

Ergänzende Interpretation: (ohne Gewähr)

v' =

Änderungsrate der Geschwindigkeit = Beschleunigung

Rocky77 aktiv_icon

23:13 Uhr, 13.02.2014

Ja denke auch das es die Beschleunigung ist, wenn ein Körper seine Geschwindigkeit ändert spricht man von Beschleunigung...

Rocky77 aktiv_icon

23:24 Uhr, 13.02.2014

Ein kurze frage, wäre das mathematisch gesehen richtig, wenn ich die Geschwindigkeit

v

Ableite das es dann die Beschleunigung a ist?

Ma-Ma aktiv_icon

23:34 Uhr, 13.02.2014

Ja. siehe auch hier: de.wikipedia.org/wiki/Beschleunigung

aleph-math aktiv_icon

13:18 Uhr, 14.02.2014

Mein lie. Freund & Kupferstecher!

Ich bewundere "mama"s Geduld! Da ist von v' & Ableitg d. Rede, also Diff.Rechng, u. du fragst Sachen aus d. 4.Klasse..! "m=tan

α

", etc ist also nichs Neues o. ist das wieder vergessen? Aber ich will nicht zu sehr kritisieren, manchm. hat man halt ein Brett vor'm Hirn.. :(

Eine 2.Meinung kann nicht schaden, desh. kurze Zusammenfassg.:
a), b) & f) sind einfach abzulesen, also eigt. trivial (dh. zu einfach, um gestellt zu werden ;-)

c) interpret. ich anders: "links von v" hieße neg. Steigung, die gibt's aber nicht. (Straßen-)Steigung ist immer als d. POS. Anstieg einer Strecke defin., also d. (meist prozent.) Verhältnis von Höhe & Basis(länge), was nichts anderes als d. Tangens d. Steig.winkels ist (Trigonom. ist 4., 5. Klasse!) Ob's rauf o. runter geht, hängt nur v. Standort ab, also Berg o. Tal! "links von v" ist daher hier m.M. mathem. sinnlos.

d) hier hat sich "mama" geirrt. D. Frage war nach d. *Änderung* d. Geschwind., nicht nach dieser selbst! D. mittl. Rate ist einfach d. Diff.ENquotient (das sollte aus Diff.rech. bekannt sein!) über d. Intervall, also:

\overline{v} ʹ = \frac{Δ v}{Δ s} = \frac{v (20) - v (10)}{20 - 10} = \frac{0 - 25}{10} = - 2.5

;
d. Geschwind. nimmt also im Miittel um 2.5 km/h je % Steigg. ab.

e) Tangente ist math. richtig, aber wie schon gesagt, zeichn. ungenau (kein Anhaltspkt. f. Lot o.ä.). Wenn man's trotzdem macht, d. Steigg. (d. Tangente, nicht d. Strasse!) ist einfach:
- Tang. verlängern, bis sie d. Achsen schneidet; dann entw.
- analytisch: Quotient d. Achsenabschn. entspricht Tangens (

\frac{v_{0}}{s_{0}} = \tan (- α)

); neg. deshalb, weil d. (spitze) Winkel v. Waagr. aus hier MIT d. Uhrzeiger gemessen wird; (And. Interpret.: d. Winkel öffnet sich nach links; bzw. liegt im II. Quadrant, desh. neg.); od.
- geometr.: Winkelmesser in s_0 (Schnittpkt mit s-Achse) anlegen, Wi. ablesen.

Eine vmtl. genauere Alternat. ist (mehr) analytisch: d. DifferenZIALquot. ist bekanntl. d. Grenzw. d. DifferenzENquot. Umgekehrt ist dieser bei hinreichend kl. Intervall eine Näherg an d. Diff.IALquot., dh. Ableitg. v'. Also, aus d. Graph v(12) & v(8) (kann auch 13 & 7 o.ä. sein) ablesen, damit Diff.ENquot. bilden, fertig..

D. Bedeutung von v' ist doch klar: analyt. ist es d.*Änderg.rate* d. Geschwindigk., geometr. ein Maß f.d. Krümmung d. Graphen an dieser Stelle.

Zum Abschluß noch d. selbst gestellten Fragen:
".. nicht verstanden, was v mit s zu tun hat (o. zusammenhängt)." o.ä.
Abgesehen davon, daß d. Zusammenh. ohnehin durch d. Graph defin. ist (mathem. Def.), ist auch d. logische (besser: physikal.) Zusammenh. klar: bei größ. Steigg. muß man mehr Kraft aufwenden, um d. Geschwind. zu halten; wenn d. nötige Kraft d. persönl. Leistung übersteigt, sinkt d. Geschwindig.; wie "mama" auch sagte. Voila!

Das klärt auch d. Frage ".., also ist physikal. Wissen nicht relevant".
Oh je! Ein reales Beisp. hat immer mit Physik zu tun, denn Physik defin.& kontroll. alle natürl., realen Vorgänge! Außerd. kann physikal. Verständis d. Mathem. unterstützen: wenn zB. ein Prozess nur in einer Richtg. läuft (vgl. Zeit o. Entropie), dann kann man leicht d. Vorzeichen in d. Gleichg. prüfen, uvm.

Da ist es zu ".. richtig, wenn ich v ableite u. Beschleunig. erhalte..?" nicht weit.
Kann ich nur sagen: "JA, natürlich!" (eine Bio-Marke in Österr.) - Lie. Freund; d. Beschleunig. ist per Def.(!) d. zeitl. Ableitg d. Geschwindig.!

a = \dot{v} = \frac{d v}{d t}

; ACHTUNG! Ableitg. nach Zeit, NICHT Steigg.!
Letzte Bemerkg. ist wesentlich ("crucial")! Das mit d. Beschleun. gilt NUR bei d. Zeit als unabh. Variable, also hier NICHT.

... Inzwi. mußte ich ein Nickerchen machen, desh. ist es Mittag & nicht mehr 5h, ich hoffe, meine Zeilen sind trotzd. brauchbar..

Hab ich was vergessen? Im Zweifel nachfragen!

Kritik bitte nicht übelnehmen, alles Gute! -GA
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** Edit: Ausdruck verbessert..

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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