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Steigung der Tangente an der Sinusfunktion im Ursprung
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 17:53 Uhr, 14.01.2006  |
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Hallo, ich soll die Steigung der Tangente an der Sinusfunktion im Punkt (0/0) bestimmen. Hierzu soll ich zu nächst eine Sekante zeichnen, die ebenfalls durch 0 geht. ich habe nun folgende sekante gezeichnet: (0/1) die steigung hierzu wäre ja: (0,75*1)+ 0 = 0,75 wenn ich diese sekante nun der tangente annäher, nehmen die steigungen ab. SChließlich beim ursprung angelangt erhalte ich für die Steigung : 0*0+0 = 0 kann das denn stimmen?????????? ich zweifel ;) |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Tangente (Mathematischer Grundbegriff) Sekante (Mathematischer Grundbegriff) Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) | |
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das kann nicht sein als erstes zeichnest du die sekante welche durch die >Punkte P(0|0) und Q(x|sinx) mit x=1 wäre es zum beispiel Q(1|sin1) du hattest (0|1) das ist doch unsinnig da dieser punkt sich doch an der selben stelle x=0 befindet wie der koordinaten ursprung jetzt ermittelst du die steigung der sekante m=(sin1-0)/(1-0)=sin1=ca. 0,84147 genauer wär es dann wenn du kleinere werte für x nimmmst und dich den ursprung näherst also zum beispiel sin(0,5)/0,5 sin(0,0001)/0,0001 die exakte steigung der tangente ist folgender grenzwert dieser grenzwert ist ohne weiteres nicht zu bestimmen, da er auf den undefinierten ausdruck 0/0 läuft L'hospital und Taylorentwicklung würde auf grund der aufgabenstellung nichts bringen, da man hier die ableitung der sinusfunktion bereits kennen müsste und das darf man bei dieser aufgabe nicht vorraussetzen dennoch kann man diesen grenzwert exakt bestimmen, nur ist es schwiergi ohne zeichnung zu erklären ich werde ausschau halten ob ich eine geeignete zeichnung finde oder selber eine zeichnung erstellen dann zeige ich es dir jedenfalls läuft dieser grenzwert gegen 1 EDIT: ich hab mir jetzt eine geeignete zeichnung aus einem anderen matheforum geborgt unter dieser url kannst du dir folgende rechnung veranschulichen www.matheraum.de/uploads/forum/00033676/forum-i00033676-n001.jpg das kleinere dreieck mit den seitenlängen sin(x) cos(x) und 1 hat den flächeninhalt A=sin(x)*cos(x)/2 das große dreieck mit den seitenlängen tan(x), 1 und unbekannt hat den flächeninhalt A=tan(x)/2 als nächstes berechne ich den flächeninahlt des kreisauschnitts du kennst sicherlich doch die kreisauschnittsformel A=pi*r²*alpha/360 da wir in bofgenmaß rechnen muss ich sie noch umformen mit alpha=180x/Pi also A=r²*x/2 und wegen des einheitskreises A=x/2 wie man aus der zeichnung unschwer erkennen kann gilt die ungleichung (< soll in diesem fal ein kleiner gleich zeichen bedeuten und kein kleiner zeichen) sin(x)*cos(x)/2 < x/2 < tan(x)/2 sin(x)*cos(x) < x < tan(x) cos(x) < x/sin(x) < tan(x)/sin(x) 1/cos(x) < sin(x)/x < cos(x) wenn man jetzt x gegen 0 streben lässt erhält man 1 < sin(x)/x < 1 und das einzige x für sin(x)/x für das die gleichung erfüllt ist ist x=1 nämlich 1 <= 1 <= 1 somit läuft dieser grenzwert gegen 1 wenn man dies nach |
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anonymous 12:17 Uhr, 15.01.2006 |
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dankedanke, für deine Mühe und die erklärung =) ich kann zwar deine Formel mit dem Formeleditor nicht lesen, daaaaa das Ding sich bei mir nicht installiert^^, aber ich gehe avon aus, dass der Grenzwert der Form lim sin x / x enstpricht ? x->0 |
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