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Stein in Brunnen Problem

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom

Benoit aktiv_icon

19:46 Uhr, 08.03.2011

"Ein Stein wird in einen Schacht fallen gelassen. Man hört ihn nach

5,8 s

aufschlagen."
Gesucht: Schachttiefe

Habe die Aufgabe in zwei Bewegungen aufgeteilt.

1)

Eine gleichmäßig beschleunigte mit
a=g=9,81m/s²

und

2)

eine gleichförmige Bewegung des Schalls, mit

v = 340 \frac{m}{s}

s 1) = s 2)

t = 5,8 s

t 1) + t 2) = t \Rightarrow t 1) = t - t 2)

Aus

1)

ergibt sich

s = \frac{g}{2} \cdot t^{2}

Aus

2)

ergibt sich durch

v = \frac{s}{t} \Rightarrow s = v \cdot t

Hieraus ergibt sich für mich die Gleichung

\frac{g}{2} \cdot {(t - t 2)}^{2} = v \cdot t 2

Richtig? Wenn ja, wie bekomme ich die Gleichung auf

t 2

gelöst?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Shipwater aktiv_icon

19:50 Uhr, 08.03.2011

Wenn die Schachttiefe

s

beträgt, dann schlägt der Stein nach

t_{1} = \sqrt{(\frac{2 s}{g})}

auf dem Boden auf. Die Zeit bis der Schall oben angekommen ist, ist dann

t_{2} = \frac{s}{v_{s}}

. Nun muss

t_{1} + t_{2} = 5,8 s

gelten, also

\sqrt{(\frac{2 s}{9,81 \frac{m}{s^{2}}})} + \frac{s}{340 \frac{m}{s}} = 5,8 s

Löse diese Gleichung nun nach

s

auf.

Benoit aktiv_icon

20:21 Uhr, 08.03.2011

Die von mir aufgestellte Gleichung müsste jedoch auch stimmen oder?

Bekomme jedoch die von dir aufgestellte Gleichung auch nicht auf

s

gelöst!?

Shipwater aktiv_icon

20:27 Uhr, 08.03.2011

Ich lass die Einheiten einfachheitshalber mal weg:

\sqrt{(\frac{2 s}{9,81})} + \frac{s}{340} = 5,8

\frac{s}{340} + \frac{10}{3} \sqrt{(\frac{2}{109})} \sqrt{s} - 5,8 = 0 | \cdot 340

s + \frac{3400}{3} \sqrt{(\frac{2}{109})} \sqrt{s} - 1972 = 0

Jetzt setze

u := \sqrt{s}

und dann pq-Formel (oder gleich pq-Formel)

Gerd30.1 aktiv_icon

08:52 Uhr, 10.03.2011

Dein Ansatz

\frac{g}{2} \cdot {(t - t_{2})}^{2} = v \cdot t_{2}

ist völlig korrekt

\Rightarrow

mit

g \approx 10 \frac{m}{s^{2}}

folgt

5 \cdot {(5,8 - t_{2})}^{2} = 340 \cdot t_{2}

168,2 - 58 t_{2} + 5 t_{2}^{2} = 340 t_{2}

5 t_{2}^{2} + 168,2 - 398 t_{2} = 0

t_{2}^{2} - 79,6 t_{2} + 33,64 = 0

t_{2} = 39,8 \pm \sqrt{1584,04 - 33,64} = 39,8 \pm \sqrt{1550,04} = 39,8 \pm 39,375

t_{2} = 0,425 s \Rightarrow h = 340 \cdot t_{2} = 144,6 m

Shipwater aktiv_icon

10:32 Uhr, 10.03.2011

So geht es natürlich auch, aber mit meinem Ansatz kann man direkt

s

berechnen und pq-Formel braucht man bei beiden Wegen. Ich erhalte dann

s \approx 142,084 m

. Du hast also etwas großzügig gerundet gerdware.
Edit: Ich sehe gerade, dass du mit

g = 10 \frac{m}{s^{2}}

gerechnet hast. Damit würde ich

s \approx 144,46 m

erhalten, also nehme ich die obige Aussage zurück, mein Fehler.

Gerd30.1 aktiv_icon

17:52 Uhr, 10.03.2011

Ich habe ja auch nur den Ansatz des Fragestellers aufgenommen und durch gerechnet.

mfG

Shipwater aktiv_icon

17:55 Uhr, 10.03.2011

Ja, das habe ich gesehen. Ist ja auch (von Rundungen abgesehen) vollkommen richtig.

Benoit aktiv_icon

23:13 Uhr, 10.03.2011

Danke für eure Mühe!

Shipwater aktiv_icon

23:15 Uhr, 10.03.2011

Gern geschehen.

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