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Stereometrie 4 Kugeln und eine Umkugel
Schüler Berufsmaturitätsschule, 8. Klassenstufe
Tags: Radius, Stereometrie, Umkugel
 
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Aufgabe: Vier Kugeln mit Radius die sich gegenseitig berühren, ist eine Kugel umschrieben. Berechnen Sie den Radius der Umkugel als Ausdruck in . Wie gross ist die Differenz der Volumina der Umkugel und der 4 eingeschriebenen Kugeln? In welchem Verhältnis steht die Gesamtoberfläche der 4 Kugeln zur Oberfläche der Umkugel? Problem/Ansatz: Ich habe mir eine Skizze gemacht, aber ich weiss nicht, wie man am besten herausfindet. Ich habe die Höhe schon berechnet, die könnt ihr in der Skizze sehen. Ich wäre euch sehr dankbar. Meine Skizze:  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Verbindet man die vier Kugelmittelpunkte der kleinen Kugeln, so entsteht ein reguläres Tetraeder mit Seitenlänge . Sei der Umkugelradius dieses Tetraeders, dann ist der gesuchte Umkugelradius deiner vier Kugeln. Zu deiner Skizze: Es ist , kann man z.B. über Teilvolumina des Tetraeders begründen, es folgt . |
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Wie meinst du das mit Teilvolumina? Könntest du mir das vielleicht ausführlicher erklären oder visuell zeigen? Ich wäre dir sehr dankbar und ja, das mit dem Umkreisradius klingt für mich nachvollziehbar, da ich es jetzt gesehen habe. Ich brauche nur noch den Zusammenhang von diesen . |
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Seufz, das wollte ich gerade eben nicht ausbreiten, weil du es dir SELBST überlegen solltest ... also gut. Das Gesamtetraeder kann man in vier kongruente (nichtreguläre) Teiltetraeder zerlegen: Jeweils Grundfläche gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge und Höhe zur Spitze, welcher der Mittelpunkt des großen Ausgangstetraeders ist. Da alle vier Volumina der Teiltetraeder gleich sind, muss gelten, also . Und es ist , und damit . |
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h=4h´ Diese Gleichung kann ich noch nicht nachvollziehen. |
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Umkugelradius: rU sqr 6 Das kenne ich. |
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Ok, da muss wohl erst weitere Bezeichnungen einführen, wenn du so von hundertsten ins tausendste kommmst. ... Fläche der gleichseitigen Seitendreiecke des großen Tetraeders ... Volumen des großen Tetraeders ... Volumen jedes der kleinen Tetraeder Dann ist und , außerdem ist , WEIL SICH DAS GROSSE TETRAEDER NUN MAL ALS DISJUNKTE VEREINIGUNG DER 4 KLEINEN TETRAEDER ERGIBT. Dies zusammengesetzt ergibt , die Multiplikation mit Faktor ergibt . Jetzt sollte es aber langsam reichen. P.S.: Das ist einfach das dreidimensionale Analogon davon, dass der Umkreisradius eines gleichseitigen Dreiecks gleich der Höhe in diesem Dreieck ist - dort geschieht das über die Zerlegung der Fläche in drei kongruente gleichschenklige Dreiecke. |
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r/2(Wurzel6+2) Stimmt das so für den Radius der Umkugel. :-) |
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> Umkugelradius: > Das kenne ich. Warum führen wir dann diese Diskussion??? Ich habe dieses halt nur mit bezeichnet. |
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Ich fand es einfach lustig, wie du sofort so wütend wurdest. :-) Ich bin ein sehr ruhiger Mensch und ich wollte nur wissen, weshalb du das mit den Volumina genannt hast. Vielen Dank für deine etwas harte, aber tolle Antwort! Danke! |
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Ja, sehr lustig erst mal in Ruhe abzuwarten, wie ein anderer sich wegen vermeintlicher Begriffsstutzigkeit des Fragestellers einen abwürgt, um am Ende zu sagen "Ätsch, weiß ich doch schon lange". Verarsch künftig andere, und Tschüss. P.S.: Wirklich schade, dass hier nur Fragesteller die Helfer bewerten können, und nicht umgekehrt. |
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Ich habe dich nicht verarscht. Aber naja, wenn du das meinst. Ich wünsche dir noch einen schönen Abend. |
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