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Sterling Zahlen Zweiter Art Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Binomialkoeffizient, Diskrete Mathematik, Sterling Zahlen

 
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frage344

frage344 aktiv_icon

18:13 Uhr, 09.11.2022

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Hi, also ich habe folgende Aufgabe (siehe Anhang). Ich komme bei dieser nicht mehr weiter. Mein Ansatz wäre per Induktion, jedoch versteh ich den Induktionsschritt nicht . Eine Überlegung war, dass ich mir eine beliebige Menge aufbaue mit von dieser wissen wir dann dass sie m-1-Partitionen hat. Dann hätte ich geschaut was, passiert , wenn ich mit der Zahl erweitere . Dann müsste ich ja eine neue Anzahl Partitionen bekommen in Abhängigkeit von . Dies ist mir noch nicht gelungen.
Ein anderer Ansatz wäre, den Beweis rückwärts zu gehen, also über 2 umformen um die Induktionsvorrausetzung einzusetzen. Hier bin ich auch nicht weiter gekommen.

Hoffe es findet sich ein Retter ;-)
Gruß

Screenshot 2022-11-09 at 18.03.32

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Punov

Punov aktiv_icon

00:41 Uhr, 10.11.2022

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Hi!

Beweis per Induktion ist eine gute Idee.

Ich setze mal voraus, dass du folgende elementare Eigenschaften kennst bzw. verwenden darfst: und für oder .

Zum Beweis:

Zu zeigen ist: Für alle gilt

Induktionsanfang:
Das kann man sehr leicht argumentieren, das überlasse ich dir.

Induktionsschritt: Die Behauptung gelte für , leite daraus ab, dass sie auch für gilt, dass also gilt

Das geht wie folgt:




Die erste Identität gilt nach Definition der Stirlingzahlen zweiter Art, die zweite wegen , die dritte nach Induktionsannahme.

Damit ist der Beweis auch schon fertig.



Viele Grüße


frage344

frage344 aktiv_icon

10:36 Uhr, 11.11.2022

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Hi, danke erstmal für die Antwort. Also ich verstehe den ersten Schrittt beim Induktionsschritt nicht ganz. Also woher das n kommt vor S_(n,n) ?
Gruß
Frage beantwortet
frage344

frage344 aktiv_icon

11:20 Uhr, 11.11.2022

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Hi, also habs verstanden. Danke dir.
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

12:04 Uhr, 11.11.2022

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Wie wäre es mit einer direkten Lösung

ist die Anzahl der Partitionen mit Elementen. Das heißt man wählt eine 2-er Menge aus und macht alle anderen Elemente zu 1-er Mengen der Partition. Daher: über 2.