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Stetig Fortsetzbarkeit überprüfen

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen

Ceeya aktiv_icon

14:57 Uhr, 17.08.2015

Guten Tag,

ich bin leider bei beim aktuellen Theme leicht überforder und brauche Ansätze wie ich den anfangen kann.

Aufgabe: Prüfe ob

f (x) \in x = 0

stetig fortsetzbar ist.

Gegeben:

f : R

{

0}->R,

f (x) = \frac{(e^{x}) - 1}{x}

Ich weiß, dass ich dazu die Grenzwerte in

x = 0

betrachten muss, aber wie genau gehe ich vor?

Ich bedanke mich schon mal im vorraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

15:06 Uhr, 17.08.2015

>

Ich weiß, dass ich dazu die Grenzwerte in

x = 0

betrachten muss, aber wie genau gehe ich vor?

Erst die Stelle(n) lokalisieren, an denen die Funktion nicht definiert ist.

x = 0

ist also OK.

Und dann musst du den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert für

lim_{x \to 0^{\pm}} f (x)

ermitteln. Wenn beide existieren und gleich sind, dann ist stetige Fortsetzung (so wie hier der Fall mit

f (0) := 1)

möglich.

Die Grenzwerte selbst könntest du etwa mit der Regel von de l'Hôspital ermitteln.

>

Ich bedanke mich schon mal im vorraus.

... .

. im Voraus.

R

Ceeya aktiv_icon

15:46 Uhr, 17.08.2015

Ich hoffe ich mache mir das nicht zu simpel.

Das würde dann dementsprechend so aussehen.

lim \frac{e^{x} - 1}{x} = \frac{e^{x}}{1} = \frac{e^{0} -}{1} = 1

x \to 0 -

lim \frac{e^{x} - 1}{x} = \frac{e^{x}}{1} = \frac{e^{0} +}{1} = 1

x \to 0 +

Ist das so ausreichend?

Und ich kann meine Beiträge leider nicht mehr bearbeiten.^^

Ceeya aktiv_icon

15:46 Uhr, 17.08.2015

/doppelpost...

pleindespoir aktiv_icon

15:55 Uhr, 17.08.2015

Die Bearbeitung von Beiträgen wird gesperrt, sobald ein weiterer Beitrag folgt.
In diesem Fall hast Du Dir durch doppeltes Abschicken selbst eine Blockade verpasst.

ledum aktiv_icon

16:00 Uhr, 17.08.2015

Hallo
wenn ihr die regel von L'Hopital benutzen dürft ist das richtig, sonst einfach die def. von

e^{x}

durch die Reihe verwenden.
Gruss ledum

-Wolfgang-

16:02 Uhr, 17.08.2015

Wenn du in den letzten beiden Gleichungsketten jeweils nach dem ersten Gleichunheitszeichen das

zugehörige Limeszeichen einsetzt, ist es gedanklich in Ordnung.

\Rightarrow lim_{x \to 0} f (x) = 1

und deshalb kann die Funktion mit

f_{s} (0) := 1

stetig fortgesetzt werden.

Die stetige Fortsetzung ist eine "erweiterte" Funktion mit anderem Definitionsbereich und
braucht deshalb einen neuen Namen.

Gruß Wolfgang

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